Винеровский процесс, вопрос (структурная модель Мертона)

[mempool]

Всем привет, вот такой вот вопрос возник, при всех усиленных попытках вспомнить теорию сам пока не смог разобраться.
Допустим,

$$V_{T}=V_{0}exp(r-\sigma^{2} / 2 ) T+\sigma W_{T}$$

Тогда вероятность определяется так:

$$ P (V_{T}<D)=$$

$$ =P (V_{0}exp(r-\sigma^{2} / 2 ) T+\sigma W_{T}<D)$$

$$ =\Phi ((ln(D / V_{0} )-(r-\sigma^{2} / 2)T) / \sigma \sqrt {T} )$$

Правильно ли я понимаю, что содержимое скобок Ф(...) является параметром для функции стандартного нормального распределения? ( the cumulative standard normal distribution - так заявлено в англ. источнике).Тогда получается, что выражение под этими скобками - плотность стандартного нормального распределения, или нет? Подскажите пожалуйста, очень нужно.

[PAV]

$\Phi$ обычно обозначает функцию распределения стандартного закона. Это означает, что
$\Phi(x)=P(\xi<x)$,
где $\xi$ распределена по стандартному нормальному закону ${\cal N}(0,1)$.

Плотность тут ни при чем. Плотность возникнет, если расписать эту вероятность в виде интеграла.

В Вашей задаче не хватает информации о том, что обозначают разные буквы. Их слишком много и не совсем понятно, где числа, а где случайные величины. Про последние дополнительно нужно указать их распределение.

[mempool]

2 PAV:
Спасибо, стало чуть полегче но неясности остались, поэтому приведу условия более
подробно.
В источнике (статья по имитационному моделированию) всё это описывается так: пусть

$$\tau $$

определёна следующим образом:

$$ \tau=\begin{cases} T: V_{T}<D$\\ \infty :else$} \end{cases} $$

Также пусть V определяется некоторым соотношением, где W-Винеровский процесс:
dV=\mu Vdt+\sigma Vdw
решение которого следует из леммы:

$$V_{T}=V_{0}exp(r-\sigma^{2} / 2 ) T+\sigma W_{T}$$

Что бы облегчить себе жизнь, решили

$$ W_{T}$$

просто разыгрывать через RANDOM или задавать сразу некоторым значением, также как и V_{0} ,T,D,r,\sigma, т. е. можно считать что это просто числа.


Тогда ищем вероятность

$$P (\tau=T) = P (V_{T}<D)$$

$$ =P (V_{0}exp(r-\sigma^{2} / 2 ) T+\sigma W_{T}<D)$$

$$ =\Phi ((ln(D / V_{0} )-(r-\sigma^{2} / 2)T) / \sigma \sqrt {T} )$$

Для меня пока к сожалению непонятно, откуда взялось выражение для функции Ф(.), т.е. неясно, откуда и с помощью каких преобразований оно может быть получено.

[finanzmaster]

mempool писал(а):

Также пусть V определяется некоторым соотношением, где W-Винеровский процесс:
dV=\mu Vdt+\sigma Vdw
решение которого следует из леммы:

$$V_{T}=V_{0}exp(r-\sigma^{2} / 2 ) T+\sigma W_{T}$$

Вот тут вот ошибочка, потому что должно быть

$$V_{T}=V_{0}exp((r-\sigma^{2} / 2 ) T+\sigma W_{T})$$

,
т.е. винеровский процесс тоже идет в экспоненту.

Решается через лемму Ито вот так:
Дано (ну у меня на примере акции - S = stock):
$dS_t = S_t (\mu \cdot dt + \sigma \cdot dW_t )$

Тогда:

$$ d[\ln (S_t )] = {1 \over {S_t }}dS_t - {1 \over {2S_t^2 }}(dS_t )^2 = {1 \over {S_t }}S_t (\mu \cdot dt + \sigma \cdot dW_t ) - {1 \over {2S_t^2 }}(S_t (\mu \cdot dt + \sigma \cdot dW_t ))^2 $$

$$ =\mu \cdot dt + \sigma \cdot dW_t - {1 \over 2}\left[ {\mu ^2 \cdot \underbrace {(dt)(dt)}_{ \to 0} + 2\mu \cdot \sigma \cdot \underbrace {dt \cdot dW}_{ \to 0} + \sigma ^2 \cdot \underbrace {(dW)(dW)}_{ \to dt}} \right] = (\mu - {1 \over 2}\sigma ^2 )dt + \sigma \cdot dW_t $$

То есть: $S_t = S_0 \cdot \exp \left( {(\mu - {1 \over 2}\sigma ^2 )t + \sigma W_t } \right)$

Сама же функция стандартного нормального распределения всплывает потому что $$ W_T \~ N(0,\sqrt T ) $$

P.S.
А можно ссылку на статью?
Хочу посмотреть на очередной пример использования Geometric Brownian Motion

[mempool]

2 finanzmaster:
Очень интересно, попробую разобраться.
Вот ссылка :http://www.wikiupload.com/download_page.php?id=205886

[finanzmaster]

Посмотрел статью,
ага, ОНО самое ... структурная модель Мертона... - именно о ней я подумал, когда увидел приведенные Вами формулы.
В (4) там действительно ошибка, на которую я указал.

mempool писал(а):

2 finanzmaster:
Очень интересно, попробую разобраться.

А Вам зачем - чисто ради интереса или для дела?
Если для дела - то разочарую, к практике модель Мертона имеет мало отношения, по крайней мере если речь о непосредственном моделировании дефолта.
Если же ради интереса - то Вам нужно начать с изучения винеровского процесса, Ито-калкулуса, а также теории risk-neutral pricing. Без этого в финансовой математике ....