Доказать линейность и вычислить норму оператора

[Nakutaro]

$(Ax)(t)=\int_{0}^{2} (e^{s+t})ds$, где $A:L_1[0,2]\Rightarrow L_1[0,1]$
Начал оценивать так:
$||Ax||=\int_{0}^{1}|\int_{0}^{2} (e^{s+t})ds|dt\leqslant \int_{0}^{1}\int_{0}^{2} (e^{s+t}|x(s)|)dsdt=\int_{0}^{2}\int_{0}^{1} (e^{s+t}|x(s)|)dtds=\int_{0}^{2} (e-1)e^s|x(s)|ds=(e-1)\int_{0}^{2} (e^s|x(s)|)ds$
Теперь не знаю, как выделить $||x||$, ведь $x\in[0,1]$, а данный интеграл от 0 до 2.
Подскажите как это сделать.

[Dan B-Yallay]

Nakutaro в сообщении #760749 писал(а):

$(Ax)(t)=\int_{0}^{2} (e^{s+t})ds$

У Вас правая часть от $x(t)$ не зависит. Так и должно быть? Или оно таки под интегралом как в вашей оценке

Nakutaro в сообщении #760749 писал(а):

$$||Ax||=\ldots \leqslant \int_{0}^{1}\int_{0}^{2} (e^{s+t}|x(s)|)dsdt=\int_{0}^{2}\int_{0}^{1} (e^{s+t}|x(s)|)dtds=\ldots$$

Линейность интегрального оператора оператора очевидна, а норму вытаскивайте из определения с $\|x \|=1$.

-- Чт сен 05, 2013 10:08:19 --

Nakutaro в сообщении #760749 писал(а):

ведь $x\in[0,1]$

Кстати, с чего это вдруг? По условию

$$x\in L_1 (0,2)$$

[Nakutaro]

Цитата:

У Вас правая часть от не зависит. Так и должно быть? Или оно таки под интегралом как в вашей оценке

Да, в интеграле тоже имеется $x(s)$, ошибся при списывании.

Цитата:

Кстати, с чего это вдруг? По условию

Мне так преподаватель сказал, когда я вытащил норму $x$ из интеграла.

[Dan B-Yallay]

Nakutaro в сообщении #760789 писал(а):

Мне так преподаватель сказал, когда я вытащил норму $x$ из интеграла.

наверняка он говорил про $\|x \| \in [0, 1]$ а не $x \in [0 ,1].$. Это ж две большие разницы.
Так в чем проблема то?

[Nakutaro]

Т.е. так будет правильно?
$||Ax||=\int_{0}^{1}|\int_{0}^{2} (e^{s+t})ds|dt\leqslant \int_{0}^{1}\int_{0}^{2} (e^{s+t}|x(s)|)dsdt=\int_{0}^{2}\int_{0}^{1} (e^{s+t}|x(s)|)dtds=\int_{0}^{2} (e-1)e^s|x(s)|ds=(e-1)\int_{0}^{2} (e^s|x(s)|)\leqslant (e-1) \max_{0\leqslant s \leqslant 2}(e^s)\int_{0}^{2} (|x(s)|)ds=e^2(e-1)||x||$

[Dan B-Yallay]

а причем тут $\max_{0\leqslant s \leqslant 2}$??

Напишите определение нормы оператора, которым Вы пользуетесь.

[Nakutaro]

1) находим конст $C$ такую что $||Ax|| \leqslant C||x||$
2) такой элемент $x_0$ с нормой $=1$, что $||Ax_0|| = C||x_0||$, тогда $||A|| = C$
3) если такого $x_0$ нет то ищем последовательность $x_n$ такую что $\lim_{n\to \infty} \frac{||Ax_n||}^{||x_n||}$$=C$

[Dan B-Yallay]

То что вы привели - это способ нахождения нормы, но не определение.

Посмотрите как должно быть:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0% ... 1.80.D0.B0

[ewert]

У Вас оператор одномерен, т.е. $Ax=u\cdot l_vx$, где $u$ -- экспонента и $l_v$ -- линейный функционал, порождаемый интегрированием (тоже с экспонентой, но это уже непринципиально, с чем конкретно). Тем самым норма оператора сводится к норме интегрального функционала, а это -- вопрос совершенно стандартный и очень банальный.