Арифметические операции над случайными величинами.

[Guliashik]

$D(X) = {M[X-M(X)]}^{2} = M[{X}^{2} - 2XM(X) + {M}^{2}(X)]$
Произведение двух случайных величин X и Y, есть величина XY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения X на каждое возможное значение Y. Определение суммы подобно этому.
Собственно вопрос:
Из чего следует корректность преобразований типа: ${[X-M(X)]}^{2} = {X}^{2} - 2XM(X) + {M}^{2}(X) $?
Ведь происходит полное перераспределение операций. Из чего следует, что все комбинации останутся теми же?
И ещё один вопрос: в одном из учебников пишут
$X={2,3,5}$
$p={0.1,0.6,0.3}$
${X}^{2}={4,9,25}$
$p={0.1,0.6,0.3}$
Почему автор не указывает комбинации вида, $2\cdot 3, 3\cdot 5$...? Ввиду того, что их вероятность равна нулю?
Благодарю за помощь. Извиняюсь за кашу в голове.

[gris]

Потому, что $X$ и $X$ не являются независимыми величинами. Это одна и та же величина. Вот если бы было

$X={2,3,5}$
$p={0.1,0.6,0.3}$
$Y={2,3,5}$
$p={0.1,0.6,0.3}$

${XY}={4,9,25,6,10, 15}$
$p={0.01,0.36,0.09,0.12;0.06;0.36}$

[provincialka]

Если вам все же хочется рассматривать всевозможные произведения значений, учтите, что их вероятности для $x\ne y$ равны 0.

[Guliashik]

Хорошо, спасибо. Просто непонятно было, почему не указали этот факт. Видать принято, что если $Pr\{X=x\}=0$, то x не указывают.
А что по поводу моего первого вопроса?

[provincialka]

На самом деле разные значения не надо перемножать, ведь величина-то одна. А про первый вопрос вообще непонятно. Формулу квадрата разности никто не отменял.
при вычислении среднего мы тоже применяем сумму, а слагаемые можно переставлять.
в непрерывном случае также, интеграл от суммы равен сумме интегралов.

[Guliashik]

provincialka
боюсь, что не смогу сформулировть более внятно. Я имел ввиду то, что если умножение и сложение происходит по иным правилам, то почему из этого следует равноценность применения таких вот формул (квадрат разности)?

[provincialka]

По тем же самым правилам. Откуда другие?

[ewert]

Guliashik в сообщении #760364 писал(а):

Из чего следует корректность преобразований типа: ${[X-M(X)]}^{2} = {X}^{2} - 2XM(X) + {M}^{2}(X) $?

Ни откуда не следует, эта запись бессмысленна.

Она станет осмысленной, если к каждому слагаемому приписать слева значок матожидания (уж не важно какой именно, это по вкусу). И будет означать ровно стандартные свойства матожидания -- в принципе, ровно линейность, ну плюс ещё чуток.

[Guliashik]

ewert
А как влияет линейность мат ожидания на раскрытие разности квадрата?
UPD. Хотя.. Сквозь дебри что-то прояснилось.

[provincialka]

Мы берем каждый квадрат разности для конкретных значений с.в., которые - просто числа и формулу квадрата применять можно. Потом каждое значение умножается на вероятность и суммируется (интегрируется) . Ну, а дальше можно просто раскрыть скобки.
$p_1(x_1-Mx)^2+p_2(x_2-Mx)^2+ ...$, раскрываем каждую сумму.

[--mS--]

ewert в сообщении #760540 писал(а):

Ни откуда не следует, эта запись бессмысленна.

Чем это она бессмысленна? Арифметические операции над случайными величинами нельзя производить? Я ещё и круче могу: $(X+Y)^2 = X^2+2XY+Y^2$, доказательство в школьном учебнике алгебры класс за 4-й.

(Оффтоп)

Кончали бы Вы ерунду нести, право.

Guliashik, случайная величина - это обычная функция $X(\omega)$. От элементарного исхода. Принимающая числовые значения. С каждым её значением можно оперировать по обычным формулам арифметики. Ваш вопрос - из серии "почему $(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$?"
Можно Ваши дискретные величины записать как-нибудь так:

$$X(\omega)=\begin{cases} a_1, & \text{ если } \omega \in A_1, \cr a_2, & \text{ если } \omega \in A_2, \cr \ldots & \end{cases} \quad\text { и }\quad Y(\omega)=\begin{cases} b_1, & \text{ если } \omega \in B_1, \cr b_2, & \text{ если } \omega \in B_2, \cr \ldots & \end{cases}$$

Тогда - да, конечно, понимаю Ваше недоумение:

$$(X+Y)^2=\begin{cases} (a_1+b_1)^2, & \text{ если } \omega \in A_1\cap B_1, \cr (a_1+b_2)^2, & \text{ если } \omega \in A_1\cap B_2, \cr (a_2+b_1)^2, & \text{ если } \omega \in A_2\cap B_1, \cr \ldots & \end{cases}$$

Если ещё и правую часть выписать в таком же виде, станет совсем плохо:

$$X^2+2XY+Y^2=\begin{cases} a_1^2, & \text{ если } \omega \in A_1, \cr a_2^2, & \text{ если } \omega \in A_2, \cr \ldots & \end{cases} \quad + \quad \begin{cases} 2a_1b_1, & \text{ если } \omega \in A_1\cap B_1, \cr 2a_1b_2, & \text{ если } \omega \in A_1\cap B_2, \cr 2a_2b_1, & \text{ если } \omega \in A_2\cap B_1, \cr \ldots & \end{cases} \quad + \quad \begin{cases} b_1^2, & \text{ если } \omega \in B_1, \cr b_2^2, & \text{ если } \omega \in B_2, \cr \ldots & \end{cases}.$$

Даже здесь можно увидеть, почему получится то же самое. Смотрите на это дело иначе. Какой бы $\omega$ мы ни взяли, есть два числа $X(\omega)$ и $Y(\omega)$ - как синус и косинус, с ними можно поступать по обычным арифметическим формулами. Вот и полагают

$$(X+Y)^2(\omega) = (X(\omega)+Y(\omega))^2=X^2(\omega)+2X(\omega)Y(\omega)+Y^2(\omega).$$

Как всегда в математике: новая функция, полученная применением арифметических операций к нескольким другим функциям, при каждом $x$ получается применением этих операций к числовым значениям старых функций в каждой точке $x$.

Если Вы никогда не слышали, что случайная величина - обычная числовая функция от элементарного исхода, Вам придётся в возможность "скобки раскрывать" верить на слово. Что не есть хорошо.

-- Чт сен 05, 2013 08:14:41 --

(Оффтоп)

Guliashik в сообщении #760567 писал(а):

ewert
А как влияет линейность мат ожидания на раскрытие разности квадрата?

Да никак, разумеется.

[Guliashik]

--mS--
Благодарю!