Сюръекция, инъекция, биекция, а это как называется ?

[shkolnik]

Отображение (функция) $F:X \to Y$ называется сюръективным (или сюръекцией, или отображением на $Y$), если каждый элемент множества $Y$ является образом хотя бы одного элемента множества $X$, то есть $\forall y \in Y \exists x \in X : y=F(x)$.


Отображение (функция) $F$ множества $X$ в множество $Y(F: X \to Y)$ называется инъекцией (или вложением, или взаимно однозначным отображением множества $X$ в множество $Y$), если разные элементы множества $X$ переводятся в разные элементы множества $Y$, $\forall x \in X \exists y \in Y : y=F(x)$


Биекция — это отображение (функция), которое является одновременно и сюръективным, и инъективным.


А как называется такое отображение (функция) ?


Например,
$f(x) =\begin{cases}1, &x=0; \\0, &x \neq 1\end{cases}$

Вроде бы свойство сюрьекции $\forall y \in Y \exist x \in X : y=F(x)$ выполняется, свойство инъекции $\forall x \in X \exist y \in Y : y=F(x)$ тоже выполняется, т.к. в обоих определениях ничего не сказано о единственности существования, однако, биекции явно нет.

Как это отображение (функция) называется в математике, где об этом можно почитать ?

[gris]

А это не отображение и не функция, так как образ может быть только один.
Это многозначная функция.

[Mysterious Light]

Определение инъекции написано неправильно. Инъекция — это не взаимооднозначное отображение множества во множество. Хотя всякую инъекцию $f$ можно свести к биекции $f' : \operatorname{dom} f \to \operatorname{Im} f$.

То, что Вы нарисовали в конце сообщения — не функция. Это отношение, но не функция.

Приведённая функция $f$ (не указаны область определения и значения) является инъективной, если область опр. содержит кроме 0 не более 1 элемента, и сюръективной, если обл. значений содержит что-то, кроме 0 и 1.

[Joker_vD]

Mysterious Light
Инъекция — это взаимно-однозначное отображение множества во множество. Биекция — взаимно-однозначное отображение множества на множество. Такая терминология до сих пор существует, особенно в англоязычном варианте: "one-to-one mapping/function" означает инъекцию, а не биекцию.

[shkolnik]

gris в сообщении #759539 писал(а):

А это не отображение и не функция, так как образ может быть только один.
Это многозначная функция.

Спасибо, почитал про многозначные функции, вроде понятно. Только название ИМХО неудачное, как будто свойство многозначности выделяет подмножество в понятии функций, хотя по факту понятия не пересекаются. Лучше было бы назвать это мультифункциями, а обычные функции рассматривать, как их подмножество со свойством однозначности.
Например, четный корень является мультифункцией (многозначной функцией), но не является функцией, т.к. один аргумент отображается (или как это назвать, если это не отображение ?) в два значения.
Так ?

Mysterious Light в сообщении #759540 писал(а):

То, что Вы нарисовали в конце сообщения — не функция. Это отношение, но не функция.

А gris говорит, что и не отношение тоже. Кому верить ?

[gris]

Я говорил об отображении. Отношение — это подмножество прямого произведения двух (если бинарное) множеств. Вашу конструкцию можно представить отношением. Всякое отображение можно представить отношением, но не всякое отношение представляет отображение. В отображении требуется единственность образа.
По английски многозначная функция так и называется "multifunction".