Взаимно простые числа, числа Фибоначчи и фракталы.

[arseniiv]

xcont в сообщении #758542 писал(а):

К тому-же, можно попробовать использовать длину луча не $\sqrt{2}$, а скажем, число $\pi$

А чем плохи $e$, $\gamma$ и $\sin 7$?

[xcont]

arseniiv в сообщении #758544 писал(а):

xcont в сообщении #758542 писал(а):

К тому-же, можно попробовать использовать длину луча не $\sqrt{2}$, а скажем, число $\pi$

А чем плохи $e$, $\gamma$ и $\sin 7$?

А ничем!)

Сегодня ночью (ночью голова по другому работает) попробую до ума довести, чтобы все параметры можно было задавать вручную.



Если сложность задачи измерять в количестве сигарет, которые необходимо выкурить для ее решения, тогда это задачка на полторы пачки.)

[Sonic86]

xcont в сообщении #758542 писал(а):

"Типов" как раз больше, чем хотелось бы. Если использовать не пунктирный луч, а плавно меняющий интенсивность, получим совсем другие "узоры":

Неее я буду с примитивами разбираться сначала.
Это, кстати, совсем другие типы.

xcont в сообщении #758533 писал(а):

Sonic86 писал(а):

$H(p,q)\sim H(p,q\bmod p)$

Запись не понятна. Я не математик. Можете объяснить, если вас это не затруднит?

тип узора, построенного на прямоугольнике со сторонами $p,q$ равен типу узора, построенному на прямоугольнике со сторонами $p,q\bmod p$.

arseniiv в сообщении #758534 писал(а):

xcont, ваши фигуры, конечно, самоподобны, но «не до конца», так что это не фракталы. Итерация кривой дракона, которая у вас на аватаре, к ним ближе. (Она тоже не фрактал.)

Я еще не проверял, но, по-моему, если итеративную конструкцию кривых делать на ограниченном прямоугольнике, то получатся фрактальные линии (там их будет дофига) - типа снежинки Коха, только вместо треугольников - квадратики.

arseniiv в сообщении #758544 писал(а):

xcont писал(а):

К тому-же, можно попробовать использовать длину луча не $\sqrt{2}$, а скажем, число $\pi$

А чем плохи $e$, $\gamma$ и $\sin 7$?

В пределе, очевидно, получится фигня - полностью одноцветный квадрат.

(Оффтоп)

Вообще, вот лично моя проблема в том, что мне совсем неясно зачем это? Ну фракталы и фракталы - нарисовал и что дальше? Надо какие-то вопросы ставить, доказывать что-то, классифицировать. Тогда м.б. будет интереснее.

[Denis Russkih]

(Оффтоп)

Обалденно красиво! Я просто в шоке. :) Вот такие прикольные вещи и мотивируют заниматься математикой. :)

Sonic86 в сообщении #758551 писал(а):

Вообще, вот лично моя проблема в том, что мне совсем неясно зачем это? Ну фракталы и фракталы - нарисовал и что дальше?

А дальше сидишь и наслаждаешься зрелищем. Этак ведь и про картину великого художника можно сказать: "Ну картина и картина — нарисовал и что дальше?". А между тем, математика — это самый великий художник.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Denis Russkih в сообщении #758555 писал(а):

А дальше сидишь и наслаждаешься зрелищем. Этак ведь и про картину великого художника можно сказать: "Ну картина и картина — нарисовал и что дальше?". А между тем, математика — это самый великий художник.

Безусловно красиво У меня просто первый восторг какое-то время продолжался, а потом прошел (не про эти фракталы, а еще раньше, когда я множество Мандельброта увидел). А у Вас, наверное, либо восторг еще не прошел, либо у Вас ЦНС не так настроена, как у меня.

[xcont]

(Оффтоп)

Вообще узорчики эти придумал в 14 лет, когда с помощью математики и геометрии пытался создать хаос. Вместо хаоса нашел "гаромнию".
Хаос не обнаружен, а ко всему еще и обнаружил, что числа $\sqrt{2}$ и $\varphi$ вместе рисуют красивые фракталы. То есть, в иррациональных числах тоже хаоса нет.
Может быть, хаос - это фрактал http://xcont.com/pattern/1377189269846.png ?

Да и вообще, у иррациональных чисел хватает нерешенных проблем.

А из вопросов... вопросов у меня много.
Первый вопрос - образование материи на квантовом уровне. Может быть там тоже электрончиков и не существует вообще? Вместо них, вокруг ядра вращаются электромагнитные волны, и там где у них совпадают вектора магнитного и электрического поля - появляются узорчики-фрактальчики, так называемые "электроны".
Второй вопрос - на одном форуме заметили связь с муаровыми узорами. А это значит, что фрактальчики можно связать с интерференцией и вообще с волновой физикой.

Впрочем, фантазировать я могу сколько угодно. С этим у меня никогда проблем не было.

[Sonic86]

Извиняюсь за маленькой пост, но мозги не пашут

Узор в $H(p,q)$ при $\gcd(p,q)>1$ можно "починить", причем неединственным способом. При $\gcd(p,q)=1$ прямая, выпущенная из угла, обходит все (на самом деле не все, а ровно половину) диагонали в $H(p,q)$. При $\gcd(p,q)>1$ прямая обходит только часть диагоналей, но тогда ее можно выпускать из других точек, лежащих на краю $H(p,q)$, причем выпускать можно 2-я способами. Комбинируя получающиеся замкнутые линии мы получаем несколько узоров $H(p,q)$ при $\gcd(p,q)>1$ (и тогда их уже нельзя обозначать $H(p,q)$, т.к. некорректно). Заметим, что для того, чтобы получался узор, прямые можно выпускать не из всех точек. Например, существует 5 узоров в квадрате $4\times 4$.

[Sonic86]

Рассмотрим узоры $H(p,q)$ и $H(p,q+p)$. Тогда видно, что $H(p,q)\subseteq H(p,q+p)$. Обозначим $L(x,y)$ (конечную) последовательность точек, образующую узор $H(x,y).$ Узор $H(x,y)$ однозначно определяется последовательностью $L(x,y)$. Тогда если из $L(p,q+p)$ просто выкинуть все точки, не относящиеся к $H(p,q)$, то получим $L(p,q)$. Действительно, если $M_k=(x_k,y_k)$ - граничная точка для $H(p,q)$, но не для $H(p,q+p)$, то в $L(p,q+p)$ $M_{k+2p}=M_k$, а поскольку разность индексов $(k+2p)-k$ четная, то сохраняется еще и цвет в узорах (цвет отрезков я в определении не учел - лень).
Узоры $H(p,q)$ и $H(p,q+p)$ назовем элементарно однотипными, узоры $H(p,q)$ и $H(p+q,q)$ тоже назовем элементарно однотипными (у меня пока не получилось определить однотипность так, чтобы оно было отношением эквивалентности (индуцируемое отношение нетранзитивно), потому пока определение зафейлено. С другой стороны, $H(p,q)$ и $H(p,q+pk)$ вполне себе однотипны). Будем считать, что очевидно, что каждый узор определяется некоторым начальным узором $H(1,k)$ (но не $H(1,1)$!). В таком случае ясно, что узоров всего одно однопараметрическое семейство. Но пока $k$ - не его параметр, поскольку $H(1,1)$ и $H(1,2)$ однотипны, но $H(1,2)$ и $H(1,4)$ не однотипны.
Надо еще как-то симметрию по диагонали учесть...

[xcont]

Пользуясь гугль-транслейтером налепил сайтик об этом фрактале: New kind of fractals - Fractals in relatively prime integers (coprime integers)
Перевод весьма корявый. Кто может откорректировать? Буду весьма признателен.

[xcont]

Отправил на Хабру: Фракталы в простых числах Habrahabr.ru

[arseniiv]

(Оффтоп)

xcont в том варианте писал(а):

Рассмотрим другой вид волн. Как известно, электромагнитная волна состоит из трех векторов — волновой вектор и вектора напряженности электрического и магнитного поля. Как видим, если «словить» такую волну в замкнутой области – там, где пересекаются эти вектора, получаем вполне четкие замкнутые структуры. Быть может, элементарные частицы – это такие-же фракталы?

[Deggial]

xcont писал(а):

Рассмотрим другой вид волн. Как известно, электромагнитная волна состоит из трех векторов — волновой вектор и вектора напряженности электрического и магнитного поля. Как видим, если «словить» такую волну в замкнутой области – там, где пересекаются эти вектора, получаем вполне четкие замкнутые структуры. Быть может, элементарные частицы – это такие-же фракталы?

xcont, замечание за голословные аргументы и тезисы