задача о нулях элементарной целой функции

[sergei1961]

Пусть $a,b$---действительные числа. Доказать, что все нули целой функции

$$ f(z)=\cos(z) \ch(az)+\sin(z)\sh(bz) $$

лежат на осях координат $Re z=0$ и $Im z=0$.

Начать можно с

$$ g(z)=\cos(z)+\sin(z)\sh(3z)=0. $$

[sup]

Я бы воспользовался формулой для производной неявной функции (от параметра).
С каким-то фиксированным значением параметра разбираемся "вручную". А затем неявная функция. Если гипотеза верна, то должно прокатить.

[iifat]

Может, попробовать всё через $e^z$ расписать?

[Vince Diesel]

sergei1961 в сообщении #758767 писал(а):

Начать можно с

$$ g(z)=\cos(z)+\sin(z)\sh(3z)=0. $$

Уже неверно. Численно находятся 4 корня и все не на осях: $\pm0.33724\pm 0.6675i$.

[sergei1961]

Не пришлёте, чем считали, пожалуйста.
У меня на МАТЕМАТИКЕ через solve, nsolve не получалось, но я в ней не силён.

[Vince Diesel]

Упс, я не сохранил. Можно картинки линлий уровня модуля порисовать. А команда

NMinimize[{Abs[g[x+I y]]^2,0<x<1,0<y<1},{x,y}]

находит мининимум, соответствующий этой картинке, близкий к нулю.

[sergei1961]

Похоже я перепутал, где параметры. Нужно так, извините:

$$ f(z)=\cosh(z)\cos(az)+\sinh(z)\sin(bz), $$

$a>0$, $b>0$.

Думаю, что в этой редакции утверждение задачи будет верно, хотя я и не представляю совершенно как его доказать. Это задача довольно давно была рассказана мне хорошим математиком, который в неё упёрся.

Вот расчёты для случая $a=5$, $b=2$ на 9-ой МАТЕМАТИКЕ, всё подтвердается, корни есть и на одной оси, и на другой, а других нет!

In[1]:= 
NSolve[Sinh[z]Sin[2z]+Cosh[z]Cos[5z]==0&&-10<=Re[z]<=10&&-10<=Im[z]<=10,z]
Out[1]= {{z->-9.64918},{z->-8.90118},{z->-8.75158},{z->-7.85398},{z->-6.95638},{z->-6.80678},{z->-6.05879},{z->-5.1612},{z->-4.71239},{z->-4.26352},{z->-3.36616},{z->-2.62379},{z->-2.45977},{z->-1.5708},{z->-0.797643},{z->-0.360113},{z->0. -1.56158 I},{z->0. +1.56158 I},{z->0. -4.71239 I},{z->0. +4.71239 I},{z->0. -7.85398 I},{z->0. +7.85398 I},{z->0.360113},{z->0.797643},{z->1.5708},{z->2.45977},{z->2.62379},{z->3.36616},{z->4.26352},{z->4.71239},{z->5.1612},{z->6.05879},{z->6.80678},{z->6.95638},{z->7.85398},{z->8.75158},{z->8.90118},{z->9.64918}}

-- 08.09.2013, 23:49 --

Вот пересчитал для первоначальной постановки задачи численный пример. Похоже и там всё верно, нельзя только нулевые параметры.

In[2]:= 
NSolve[Sinh[2z]Sin[z]+Cosh[5z]Cos[z]==0&&-10<=Re[z]<=10&&-10<=Im[z]<=10,z]
Out[2]= {{z->-7.85398},{z->-4.71239},{z->-1.57953},{z->0. -0.284242 I},{z->0. +0.284242 I},{z->0. -1.08562 I},{z->0. +1.08562 I},{z->0. -1.5708 I},{z->0. +1.5708 I},{z->0. -2.02571 I},{z->0. +2.02571 I},{z->0. -2.91679 I},{z->0. +2.91679 I},{z->0. -3.66444 I},{z->0. +3.66444 I},{z->0. -3.8154 I},{z->0. +3.8154 I},{z->0. -4.71239 I},{z->0. +4.71239 I},{z->0. -5.60997 I},{z->0. +5.60997 I},{z->0. -5.7596 I},{z->0. +5.7596 I},{z->0. -6.50759 I},{z->0. +6.50759 I},{z->0. -7.40518 I},{z->0. +7.40518 I},{z->0. -7.85398 I},{z->0. +7.85398 I},{z->0. -8.30278 I},{z->0. +8.30278 I},{z->0. -9.20038 I},{z->0. +9.20038 I},{z->0. -9.94838 I},{z->0. +9.94838 I},{z->1.57953},{z->4.71239},{z->7.85398}}

sergei1961, оформляйте, пожалуйста, программный код тегом code. Код выше я оформил.