Одна задача по комплексному анализу

[Let]

Пусть $f, g$ - голоморфные на всем $\mathbb{C}$ функции, для которых выполнено $f^2 + g^3 = 1$
Доказать, что $f$ и $g$ - константы.

Наверняка здесь как-то используется факт, что голоморфные на всем $\mathbb{C}$ функции принимают все значения кроме, возможно, одного, но как?

Заранее спасибо.

[Oleg Zubelevich]

1) предположим функция $g^3$ не принимает значения $\xi\ne 1$, что можно сказать про $f$?

2) .....................................................

[sup]

Мне кажется, что задача не такая уж и простая. Достаточно заметить, что существуют нетривиальные $f,g$, для которых $f^2(z) + g^2(z) = 1$. Почему с квадратом есть решения, а с кубом - нет?
Я сначала свел исходную задачу к $f_1^3(z) + g_1^3(z) = 1$. А потом разложил это выражение на множители.

[nnosipov]

sup в сообщении #758134 писал(а):

Я сначала свел исходную задачу к $f_1^3(z) + g_1^3(z) = 1$. А потом разложил это выражение на множители.

Аналогично. Задача про уравнение $f_1^n(z) + g_1^n(z) = 1$ хорошо известна.

[Let]

Oleg Zubelevich в сообщении #758127 писал(а):

1) предположим функция $g^3$ не принимает значения $\xi\ne 1$, что можно сказать про $f$?

2) .....................................................

Да, если $f$ и $g$ - не константы, то $f^2$ и $g^3$ принимают все значения.
Я извиняюсь, но что дальше?

[sup]

Let
Я бы порекомендовал Вам следующий план.
1. $g^3= (1-f)(1+f)$. Что Вы можете сказать про функции $1+f$ и $1-f$?
2. Сведите задачу к $f_1^3 + g_1^3 = 2$.
3. Разложите левую часть на множители и докажите, что хотя бы один из них в некой точке обращается в 0 (ну или все они просто константы).
Вот в последнем пункте Вы и воспользуетесь тем, что голоморфная функция принимает все значения кроме, быть может, одного.

[Oleg Zubelevich]

я наверное очень тупой, но я теперь не понимаю как задачу решать

[nnosipov]

Oleg Zubelevich в сообщении #758374 писал(а):

я наверное очень тупой, но я теперь не понимаю как задачу решать

Какой из пп. 1, 2, 3 (см. пост sup) Вам непонятен?

[sergei1961]

А про сумму н-ых степеней где посмотреть? Помню что-то такого плана было в книгах Маркушевича, но точно уже не вспомнить.

[nnosipov]

sergei1961 в сообщении #758377 писал(а):

А про сумму н-ых степеней где посмотреть?

Это, по-моему, какой-то фольклор. Рассуждения абсолютно те же, что и для $n=3$.

[Oleg Zubelevich]

nnosipov в сообщении #758376 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #758374 писал(а):

я наверное очень тупой, но я теперь не понимаю как задачу решать

Какой из пп. 1, 2, 3 (см. пост sup) Вам непонятен?

все

-- Ср авг 28, 2013 13:08:55 --

я понимаю только, что $f,g$ принимают все значения

[nnosipov]

В первом надо сослаться на теорему о разложении целой функции в произведение. Тогда функции $1 \pm f$ должны быть кубами целых функций: $1+f=f_1^3$, $1-f=g_1^3$.

Второй пункт теперь должен быть очевиден.

В третьем имеем $f_1+g_1=e^{h_1}$, $f_1+\zeta g_1=e^{h_2}$, $f_1+\zeta^2g_1=e^{h_3}$, где $\zeta$ --- кубический корень из единицы. Отсюда $e^{h_i}$ линейно зависимы: $e^{h_3}=ae^{h_1}+be^{h_2}$. Но это невозможно: левая часть нуля не принимает, а правая обязательно обратиться в нуль (вот здесь как раз та теорема о значениях целой функции и используется).

[Oleg Zubelevich]

спасибо

[sergei1961]

Про сумму н-ых степеней. Эта теорема принадлежит Монтеню, вопрос действительно рассматривается в пятой главе книги Маркушевича Целые функции, там излагается предложенный здесь метод.

[nnosipov]

sergei1961 в сообщении #758419 писал(а):

Эта теорема принадлежит Монтеню, вопрос действительно рассматривается в пятой главе книги Маркушевича Целые функции

Значит, не совсем фольклор. Спасибо, будем знать, а ТС будет куда заглянуть за подробностями.