расстояние от точки до прямой

[function]

Найти расстояние от точки $M(-5; \, 4;\, 3)$ до прямой $\cfrac{x-2}{-1}=\cfrac{y-3}{3}=\cfrac{z-1}{2}.$
Действую таким образом:
Пусть $\cfrac{x-x_0}{a}=\cfrac{y-y_0}{b}=\cfrac{z-z_0}{c}-$ уравнение прямой, перпендикулярной данной, тогда векторы $\mathbf{n_{1}}(-1; \, 3; \, 2)$ и $\mathbf{n_{2}}(a; \, b; \, c)$ перпендикулярны, а значит их скаляр равен нулю, т. е. $\left(\mathbf{n_{1}},\,\mathbf{n_{2}}\right)=0\Longleftrightarrow -a+3b+2c=0$. Кроме того, точка $M$ принадлежит перпендикулярной этой прямой, поэтому $\cfrac{x+5}{a}=\cfrac{y-4}{b}=\cfrac{z-3}{c}$, далее имеем систему уравнений:

$$\left\{ \begin{array}{cc} b\left(x+5\right)=a\left(y-4\right),\\ c\left(y-4\right)=b\left(z-3\right),\\ -a+3b+2c=0 \end{array}\right.$$

Дальше надо как-то из этого вывести искомое уравнение (подскажите как). А потом всё будет достаточно просто.

[Алексей К.]

При выбранном Вами подходе надо искать параметры $a,b,c$ второй прямой и точку пересечения $x,y,z$. 6 неизвестных и 6 уравнений: кроме трёх выписанных надо добавить три ранее записанных (скалярное произведение и уравнение первой прямой).

По-моему, громоздко, попроще стоил бы схемку придумать.

[ИСН]

Прямая, перпендикулярная данной - это избыточная информация, её не надо искать. Найдите расстояние от Вашей $M$ не до прямой, а до одной точки на прямой.

[Алексей К.]

Не зацепиться ли нам за плоскость, проходящую через $M$ перпендикулярно заданной прямой?
Не сыскать ли точку пересечения этих объектов?

А ещё можно параметризовать прямую, и найти значение параметра, при котором расстояние от точки $M$ до прямой минимально.

[ewert]

Третий стандартный (и самый простой) вариант: найти проекцию вектора $\overrightarrow{MN}$ (где $N$ -- точка на исходной прямой) на направляющий вектор этой прямой, а потом просто теорема Пифагора.

[nikvic]

ewert в сообщении #758352 писал(а):

Третий стандартный (и самый простой) вариант

А как насчёт ""Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту?

[ewert]

nikvic в сообщении #758356 писал(а):

А как насчёт ""Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту?

Не знаю. А где там параллелепипед?

Я, кстати, не утверждаю, что "мой" способ технически проще (там вроде бы во всех трёх вариантах объём вычислений одного порядка). Но он естественнее (на мой взгляд).

[nikvic]

ewert в сообщении #758367 писал(а):

А где там параллелепипед?

Я погорячился: там параллелограмм и его высота. Т.е. ответ пишется как модуль векторного произведения разделить на модуль направляющего вектора.

[ewert]

nikvic в сообщении #758368 писал(а):

Я погорячился: там параллелограмм и его высота.

Это можно (примерно с тем же эффектом). Только параллелограмм, основанный на направляющем векторе, не очень естественен. Вот если бы прямая изначально была задана проходящей через две точки, тогда бы наоборот. Впрочем, это дело вкуса.

[nikvic]

ewert в сообщении #758371 писал(а):

Это можно (примерно с тем же эффектом). Только параллелограмм, основанный на направляющем векторе, не очень естественен.

Все "окончательные" формулы в таких задачах эквивалентны. А выбор пути получения - дело вкуса и целей подборки примеров.

[function]

ewert, следуя Вашему рецепту получается такое решение:
Возьмём такую точку $N(2;\, 3;\, 1)$, значит $\mathbf{MN}(7; \, -1;\, -2) $, далее вычисляем косинус угла $\xi$ между направляющим вектором прямой и $\mathbf{MN}$:

$$\cos\xi=\cfrac{-7-3-4}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{54}}=-\sqrt{\cfrac{7}{27}}.$$

Теперь находим модуль $\mathbf{MN}$ и умножаем на синус кси в результате получаем ответ: $2\sqrt{10}$. И задача решена.

[ewert]

Ну в принципе да, только я имел в виду короче: проекция есть $\dfrac{-7-3-4}{\sqrt{14}}=-\sqrt{14}$ и, соответственно, расстояние $\sqrt{\left(\sqrt{54}\right)^2-\left(\sqrt{14}\right)^2}=\sqrt{40}$.

[Oleg Zubelevich]

Теорема. Пусть прямая $a$ проходит через точку $A$ параллельно векору $\overline u\ne 0$. Тогда расстояние от точки $B$ до данной прямой ищется по формуле

$$\rho(a,B)=\frac{\big|[\overline {AB},\overline u]\big|}{|\overline u|}.$$

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #758408 писал(а):

Теорема. Пусть прямая $a$ проходит через точку $A$ параллельно векору $\overline u\ne 0$. Тогда расстояние от точки $B$ до данной прямой ищется по формуле

$$\rho(a,B)=\frac{\big|[\overline {AB},\overline u]\big|}{|\overline u|}.$$

Бойан:

nikvic в сообщении #758368 писал(а):

там параллелограмм и его высота.