равномерная сходимость x^n

[e102b3t4]

${f_n}(x) = {x^n}\\$ проверить на равномерную сходимость при

$x \in [0,1]\\$

Рассуждения:

$f(x) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {f_n}(x) = 0\\$ при $0 \le x < 1$

$f(x) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {f_n}(x) = 1\\$ при $x = 1$

$\mathop {\sup }\limits_{x \in [0,1]} |{f_n}(x) - f(x)| \ge |{f_n}({x_*}) - f({x_*})|\\$

${x_*} = 1 - \frac{1}{n}$

Подскажите, пожалуйста, как поступить дальше.

[nnosipov]

Ну, подставьте $x_*=1-\frac{1}{n}$ в $|{f_n}({x_*}) - f({x_*})|$, посмотрите на то, что получилось, сделайте выводы.

[Somenoob]

Есть теорема (не помню как называется, кто подскажет?), что если функции $f_n$ в последовательности непрерывны и последовательность равномерно сходится, то и предельная функция должна быть непрерывна.
У вас предельная функция разрывна, поэтому последовательность сходится только поточечно.

[CptPwnage]

Somenoob в сообщении #757664 писал(а):

Есть теорема (не помню как называется, кто подскажет?), что если функции $f_n$ в последовательности непрерывны и последовательность равномерно сходится, то и предельная функция должна быть непрерывна.
У вас предельная функция разрывна, поэтому последовательность сходится только поточечно.

Это вроде бы не доказывает что нет предела, может быть есть какой-то другой - непрерывная функция

[Somenoob]

CptPwnage в сообщении #757777 писал(а):

Это вроде бы не доказывает что нет предела, может быть есть какой-то другой - непрерывная функция

Предельная функция найдена, и она разрывна.

[e102b3t4]

nnosipov в сообщении #757658 писал(а):

Ну, подставьте $x_*=1-\frac{1}{n}$ в $|{f_n}({x_*}) - f({x_*})|$, посмотрите на то, что получилось, сделайте выводы.

$\left| {{f_n}({x_*}) - f({x_*})} \right| = \left| {{{\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)}^n} - 0} \right| = {\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)^n} \to {e^{ - 1}}$

Не стремится к нулю и равномерной сходимости нет, спасибо.

[Otta]

e102b3t4
А можно было честно посчитать Ваш супремум, который равен 1 для всех $n$. И всё.

[--mS--]

Да даже и считать не нужно - на графике он замечательнейшим образом виден.