Просьба проверить, верны ли выкладки и рассуждения.
Пишу по статье Постникова и Романова.
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rusВ их статье в дополнении 7 приведено доказательство соотношения

Доказательство длинное, потому я его не привожу.
Последнее соотношение (это

), как известно, эквивалентно асимптотическому закону распределения простых

. Значит, для доказательства

достаточно доказать

.

вытекает из соотношения

. Действительно, обозначим

, предполагаем, что

, и просуммируем по частям:

(можно было бы не доказывать, поскольку авторы в начале статьи утверждают даже, что

)
Значит, для

достаточно доказать

. А этот факт неявно уже доказан авторами в лемме 4 статьи:
Лемма 4:

Доказательство леммы 4 элементарно и опирается на лемму 1, которая также элементарна. (далее привожу доказательства, но не как у авторов, а немного подробнее)
Лемма 1:

Доказательство леммы 1:
![$$\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)=[n=1] \ \Rightarrow \ \sum\limits_{n\leqslant x}\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)=1$$ $$\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)=[n=1] \ \Rightarrow \ \sum\limits_{n\leqslant x}\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)=1$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/d/f1d5abc1b8f20f272c9a175f7609a2f082.png)
![$$\sum\limits_{n\leqslant x}\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)=\sum\limits_{d\leqslant x}\mu(d)\sum\limits_{n\leqslant x, \ d\mid n}1=\sum\limits_{d\leqslant x}\mu(d)\left[\frac{x}{d}\right]=x\sum\limits_{d\leqslant x}\frac{\mu(d)}{d}+O(\sum\limits_{d\leqslant x}1)=x\sum\limits_{d\leqslant x}\frac{\mu(d)}{d}+O(x)$$ $$\sum\limits_{n\leqslant x}\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)=\sum\limits_{d\leqslant x}\mu(d)\sum\limits_{n\leqslant x, \ d\mid n}1=\sum\limits_{d\leqslant x}\mu(d)\left[\frac{x}{d}\right]=x\sum\limits_{d\leqslant x}\frac{\mu(d)}{d}+O(\sum\limits_{d\leqslant x}1)=x\sum\limits_{d\leqslant x}\frac{\mu(d)}{d}+O(x)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/0/1309ef8343dd344636380230cf4da9fe82.png)
Отсюда

,

.
Доказательство леммы 4: поскольку

, то

2-е слагаемое по лемме 1 равно

. В 1-м делаем подстановку

:

Покажем, как из леммы 4 следует соотношение

:

Как известно,

, т.е.

, в результате получаем

.
Соотношение

доказывается через дзета-функцию Римана: с одной стороны, находим производную от

- получаем, что

С другой стороны, разложение

в ряд в окрестности

нам известно:

Откуда и получаем соотношение

. Рассуждение, конечно, неэлементарно, но оно не требует даже интегралов по контурам.
Можно ли доказать

элементарно? У меня не получилось.