вполне упорядоченное множество

[Oleg Zubelevich]

Утв. Каждое множество (непустое) можно вполне упорядочить.

Док-во. Пусть $X$ -- непустое множество. Отношения порядка на этом множестве будем рассматривать как подмножества в $X\times X$. Таким образом множество отношений порядка частично упорядочено по включению. Из леммы Цорна следует, что существует максимальное отношение порядка. Оно и есть полный порядок на $X$.

Это правильное рассуждение? Вот , кстати, я под вполне упорядоченным множеством понимаю множество в котором любые два элемента сравнимы. Это верно?

[Xaositect]

Oleg Zubelevich в сообщении #757455 писал(а):

Вот , кстати, я под вполне упорядоченным множеством понимаю множество в котором любые два элемента сравнимы. Это верно?

Нет, это называется линейно упорядоченное (англ. totally ordered или linearly ordered). Вполне упорядоченное (англ. well-ordered) - это когда в любом непустом подмножестве существует наименьший элемент. Это более сильное условие.

Рассуждение само по себе правильное.

На всякий случай замечу, что утверждение о возможности линейного упорядочения любого множества слабее аксиомы выбора.

[_hum_]

Oleg Zubelevich в сообщении #757455 писал(а):

Из леммы Цорна следует, что существует максимальное отношение порядка. Оно и есть полный порядок на $X$.

А что мешает максимальному отношению оставаться частичным (а не полным) порядком?

[Xaositect]

_hum_ в сообщении #757461 писал(а):

А что мешает максимальному отношению оставаться частичным (а не полным) порядком?

Ну это мелочь, надо расписать, что если взять два несравнимых элемента $a$ и $b$ и для всех $x\geq a$ и $y\leq b$ добавить отношение $x\geq y$, то получится снова порядок.

[_hum_]

Понятно.

[Xaositect]

Да, если все-таки говорить о вполне упорядочении, то там обычно берут все вполне упорядочения подмножеств нашего множества, частично упорядоченное отношением "является ограничением порядка", и применяют лемму Цорна к нему. Такое рассуждение и для линейного упорядочения тоже пройдет.

[Oleg Zubelevich]

Xaositect в сообщении #757478 писал(а):

отношением "является ограничением порядка"

а это отличается от того, что я предложил?

[Xaositect]

Oleg Zubelevich в сообщении #757513 писал(а):

а это отличается от того, что я предложил?

Отличается. Давайте я формально напишу. Рассматриваются пары $(D, \leq)$, где $D\subseteq A$ и $\leq$ --- вполне упорядочение на $D$. $(D_1, \leq_1) \preccurlyeq (D_2, \leq_2)$ если $D_1 \subseteq D_2$ и $\leq_1$ совпадает с $\leq_2$ на $D_1$.

[nikvic]

(Оффтоп)

Для начала прочёл название темы как Вполне порядочное множество :wink:

[Oleg Zubelevich]

Xaositect Понятно. А из того, что всякое непустое множество вполне упорядочиваемо аксиома выбора вытекает?

[Xaositect]

Oleg Zubelevich в сообщении #757533 писал(а):

Xaositect Понятно. А из того, что всякое непустое множество вполне упорядочиваемо аксиома выбора вытекает?

Да. Функцию выбора можно построить, сопоставив каждому множеству его минимальный элемент в некотором вполне упорядочении объединения всех множеств семейства.

[Oleg Zubelevich]

понял, спасибо