Процесс выходов из строя прибора и замены, задачи

[Mariya]

Помогите, пожалуйста, разобраться с таким типом задач:

Батарею заменяют, если она прослужила T дней или вышла из строя (в зависимости от того, что произойдет раньше). Продолжительности службы новых батарей - независимые, одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения F(t), $t\geqslant 0$. Пусть Y_1, Y_2, ... - периоды между последовательными заменами батарей по случаю выхода из строя.
1) Найти EY_i.
2) Записать формулу средней стоимости замены батареи, если замена по сроку стоит K руб., а замена по случаю выхода из строя стоит K+C руб.
3) Найти T, при котором средняя стоимость замены батареи минимальна, если K=4, C=1 и продолжительности службы новых батарей распределены равномерно на (0, 1).

Как ответить на первый вопрос - не знаю. Соображения по поводу второго и третьего такие.
Продолжительность одного цикла (от смены до смены) будет t, если продолжительность "жизни" батареи t<T, и T, если продолжительность "жизни" батареи $t\geqslant T$. Тогда мат. ожидание продолжительности цикла есть
$\int_{0}^{T} t F(T) dt$+T $\int_{T}^{\infty} F(T) dt$.
Аналогично, мат. ожидание стоимости обслуживания (замены) есть
K+C $\int_{0}^{T} F(T) dt$.
Средняя стоимость находится путем деления средней стоимости на среднюю продолжительность.
Если это так, то это будет ответом на вопрос (2). Вопрос (3) тогда понятен (у меня получилось, что производная равна 2 (T^2+8t-8)/(2T-T^2)^2 и точка минимума на заданном интервале T=2 $\sqrt{6}$-4).

[PAV]

Для решения первой части Вам нужно сообразить, как решается следующий тип задач: имеется две случайные величины $X_1$ и $X_2$ с заданными функциями распределения. Рассматривается величина $Y=\min\{X_1;X_2\}$. Нужно найти ее функцию распределения. Эта задача решается достаточно легко просто с помощью определения функции распределения (подсказка: нужно рассмотреть вероятность противоположного события). В данном же случае все еще даже проще, учитывая тот факт, что одна из этих величин - константа.

[Mariya]

Я не совсем поняла ваш комментарий.
F_{min(X_1,X_2)}(x)=P(min(X_1,X_2)<x)=1-P(min(X_1,X_2)>x)=
=1-P(X_1>x,X_2>x)=1-P(X_1>x)P(X_2>x),
если случ. величины независимы.
Но я не понимаю, какое отношение это имеет к задаче. Поясните, пожалуйста.

Я пыталась вот так решить еще.
E(Y_i)=E[E[Y_i | t_0=x]], где t_0 - срок службы новой батареи после случая первого выхода из строя.

Тогда
E[Y_i | t_0=x]=$\int_{0}^{T} tF'(t) dt$+$\int_{T}^{\infty} (T+E[Y_i])F'(t)dt$=$\int_{0}^{T} tF'(t) dt$+(T+E[Y_i])(1-$\int_{0}^{T} F'(t)dt)$.
Отсюда
E[Y_i]=($\int_{0}^{T} tF'(t) dt$+T(1-$\int_{0}^{T} F'(t)dt$))/($\int_{0}^{T} F'(t)dt$)=($\int_{0}^{T} tF'(t) dt$+T(1-F(t)))/F(T).

Да, и во втором вопросе в формулах мат. ожиданий продолжительности и стоимости цикла надо у F(t) поставить знак производной, так как это не плотность, а функция распределения.
Напишите, пожалуйста, верно ли это решение, а также 2&3.

[PAV]

Я имел в виду, что Вы можете найти функцию распределения величины $Y$, после чего уже на все вопросы ответы легко даются. Но, действительно, в данном случае задача может быть решена и без этого.

В частности, математическое ожидание равно

$EY=\int_0^\infty t\,dF_Y(t)$

Писать $dF(t)$ правильнее, чем $F'$, потому что функция может быть и не дифференцируемой. На самом деле, итоговая функция $F_Y(t)$ будет хитрой: от 0 до $T$ она совпадает с $F(t)$, а затем делает скачок и становится сразу равна 1.

На самом деле математическое ожидание будет равно
$EY = \int_0^Tt\,dF(t) + T (1-F(T))$
причем в последних скобках стоит вероятность того, что деталь не выйдет из строя раньше срока.

Соответственно, когда считать математическое ожидание стоимости замены, то нужно $K+C$ умножить на вероятность выхода из строя раньше срока, а $K$ - на вероятность выхода из строя по сроку. На самом деле, именно это у Вас и записано.

В третьем же пункте нужно просто подставить конкретные стоимости и конкретную функцию распределения, получить стоимость замены как функцию от $T$, и минимизировать ее.