Сходимость ряда

[Limit79]

Исследовать ряд на сходимость: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln(n+1)}$

Мое решение: $\frac{1}{n} < \frac{1}{\ln(n+1)}$ при $n=1,2...$. то есть исходный ряд расходится, так как расходится гармонический ряд.

Проблема в том, что данное неравенство как-то не особо очевидно, может можно как-то по-красивее решить?

Заранее спасибо за помощь!

[Алексей К.]

Limit79 в сообщении #757109 писал(а):

Мое решение: $\frac{1}{n} < \frac{1}{\ln(n+1)}$ при $n=1,2...$...
Проблема в том, что данное неравенство как-то не особо очевидно, может можно как-то по-красивее решить?

Я для себя переписал неравенство как $\ln(n+1)<n$, и для меня оно стало настолько очевидным, что я даже не могу вспомнить, откуда из детства эта очевидность произошла. Скорее всего, е в степени левая часть сравнивал с е в степени правая часть... Но и без этого --- что может быть очевиднее??? Каких ещё "красивостей" искать? И нет ли этого в каком-нибудь списке базовых неравенств, в том, например, где указано, что $2\times2\leqslant5$?

[Limit79]

Алексей К.
Понял Вашу мысль. Спасибо за помощь!

[ewert]

Поскольку это уже ряд -- вполне достаточно того, что $\frac{n}{\ln(n+1)}\to\infty$, хотя бы по Лопиталю; в любом случае к этому моменту этот факт давно уже известен.