2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сходимость ряда
Сообщение23.08.2013, 22:40 
Исследовать ряд на сходимость: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln(n+1)}$

Мое решение: $\frac{1}{n} < \frac{1}{\ln(n+1)}$ при $n=1,2...$. то есть исходный ряд расходится, так как расходится гармонический ряд.

Проблема в том, что данное неравенство как-то не особо очевидно, может можно как-то по-красивее решить?

Заранее спасибо за помощь!

 
 
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение23.08.2013, 23:01 
Limit79 в сообщении #757109 писал(а):
Мое решение: $\frac{1}{n} < \frac{1}{\ln(n+1)}$ при $n=1,2...$...
Проблема в том, что данное неравенство как-то не особо очевидно, может можно как-то по-красивее решить?

Я для себя переписал неравенство как $\ln(n+1)<n$, и для меня оно стало настолько очевидным, что я даже не могу вспомнить, откуда из детства эта очевидность произошла. Скорее всего, е в степени левая часть сравнивал с е в степени правая часть... Но и без этого --- что может быть очевиднее??? Каких ещё "красивостей" искать? И нет ли этого в каком-нибудь списке базовых неравенств, в том, например, где указано, что $2\times2\leqslant5$?

 
 
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение23.08.2013, 23:32 
Алексей К.
Понял Вашу мысль. Спасибо за помощь!

 
 
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение24.08.2013, 10:17 
Поскольку это уже ряд -- вполне достаточно того, что $\frac{n}{\ln(n+1)}\to\infty$, хотя бы по Лопиталю; в любом случае к этому моменту этот факт давно уже известен.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group