2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение22.08.2013, 19:06 
Oleg Zubelevich в сообщении #756542 писал(а):
Sonic86 писал(а):
Только до алгебраических свойств потом ходить далеко.
в каком смысле "далеко"? По-моему наоборот. Очень удобно расписывать $(a+ib)(u+iv)$, подставляя $ii=-1$. Из коммутативности умножения на базисных векторах следует коммутативность на любых векторах. И ассоциативность тоже самое.
Да, согласен.
Надо только тогда, наверное, показать, что числа вида $(a;0)$ - обычные вещественные числа и тогда новые числа включают старые. Ну это несложно.

Oleg Zubelevich в сообщении #756669 писал(а):
Произведение векторов определим следующим образом.
1) для любого $z$ положим $z\cdot 0=0\cdot z=0$
2) произведением векторов $z_1$ и $z_2,\quad z_1,z_2\ne 0$ называется вектор $z_1z_2$ определенный следующими условиями $|z_1z_2|=|z_1||z_2|,\quad \arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2$
(Последнее равенство понимается в смысле сравнимости по указанному выше модулю)
Алгебраические свойства умножения, тригонометрическая форма комплекусного числа, формула Муавра и много другое после этого просто очевидны. А заодно, кстати, не возникает ощущения, что определение умножения сняли с потолка.
:shock:
Хотя тоже вариант :roll:

В общем, всем спасибо за ответы :D

 
 
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение22.08.2013, 19:49 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #756654 писал(а):
warlock66613 в сообщении #756645 писал(а):
Если повернуть систему координат, вектор не изменится, а его координаты и соответсвующее комплексное число изменятся


это вам только так кажется :mrgreen:

-- Чт авг 22, 2013 17:26:47 --

warlock66613 в сообщении #756645 писал(а):
Поэтому векторы и комплексные числа - всё-таки разные вещи. Иначе говоря, комплексное число - это вообще не геометрический объект.

это сильно
Тут warlock66613 прав. Комплексная плоскость имеет дополнительную структуру, кроме геометрической. В частности, на комплексной плоскости есть выделенное направление. А геометрически комплексные числа это скорее не векторы, а преобразования подобия. И такая интерпретация в анализе полезна для понимания производной в ТФКП, как мне кажется.

 
 
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение22.08.2013, 21:20 
Xaositect в сообщении #756696 писал(а):
Тут warlock66613 прав.


в чем именно прав? В том, что "комплексное число - это вообще не геометрический объект" ?
Xaositect в сообщении #756696 писал(а):
Комплексная плоскость имеет дополнительную структуру, кроме геометрической. В частности, на комплексной плоскости есть выделенное направление

Да, есть выделенное направление. И евклидову метрику тоже надо задать и ориентацию. Вот этими вещами и определяется произвол при превращении двумерного линейного пространства в поле комплексных чисел.
Непонятно только почему эта дополнительная структура (выделенное направление+метрика+ориентация) в линейном пространстве не является геометрической.



Xaositect в сообщении #756696 писал(а):
А геометрически комплексные числа это скорее не векторы, а преобразования подобия

Преобразования подобия это еще одна интерпретация. Чем она лучше векторов мне непонятно.

 
 
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение22.08.2013, 21:53 
Oleg Zubelevich в сообщении #756733 писал(а):
почему эта дополнительная структура (выделенное направление+метрика+ориентация) в линейном пространстве не является геометрической

Нет, я такого не утверждаю. Вся эта структура безусловно геометрическая. Но всё-таки это только одна из возможных геометрических интерпретаций. Собственно же комплексные числа геометрическими объектами не являются.

 
 
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение22.08.2013, 22:00 
warlock66613 в сообщении #756741 писал(а):
Собственно же комплексные числа геометрическими объектами не являются.

Вы не используете геометрический язык при построении поля комплексных чисел, для Вас оно не являентся геометрическитм объектом. А я использую. Не надо отрицать ни ту ни другую возможность. Только и всего.

 
 
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение22.08.2013, 22:26 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #756742 писал(а):
Не надо отрицать ни ту ни другую возможность.

Если $A$ можно сделать без $B,$ то $A$ не является $B.$

 
 
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение22.08.2013, 23:07 
Munin в сообщении #756753 писал(а):
Если $A$ можно сделать без $B,$ то $A$ не является $B.$

$A$ как раз является $B$. Обе модели комплексных чисел изоморфны друг другу.

 
 
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение23.08.2013, 12:49 
Oleg Zubelevich в сообщении #756542 писал(а):
...Вы, очевидно, кроме Шарыгина не читали ничего...

А вы видимо школьникам ничего не преподавали.

-- Пт авг 23, 2013 12:54:04 --

Sonic86 в сообщении #756527 писал(а):
...а формулу Муавра и тригонометрическое представление дают? Т.е. после 10-го класса? Или там школьники уже навороченные?...

Обязательно, и тригонометрическое представление и формулу Муавра, а школьников достаточно обычных)
Тема "Комплексные числа" очень долго была школьной, там все хорошо разработано.

 
 
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение23.08.2013, 15:22 
Аватара пользователя
Sonic86 в сообщении #756434 писал(а):
Просто интересно, что школьник должен знать, чтобы ему можно было объяснить, что можно делать с комплексными числами, и чтобы школьник смог их освоить.

А каких школьниках идёт речь? Насколько я знаю (если что не так, так я не из России) математика может быть в школе обычным предметом, профильным и есть школы со специализацией по математике. В обычных школах математика нужна по минимуму. А если математика - профильный предмет, то может не стоит изобретать велосипед, а посмотреть школьные учебники? В некоторых из них всё-таки комплексные числа есть (несмотря на мнение Колмогорова).

 
 
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение23.08.2013, 15:44 
Может быть имеет смысл обратиться к опыту изложения темы "Комплексные числа" Д. К. Фаддеевым и И. С. Соминским http://lib.mexmat.ru/books/81519 ?
И в качестве продолжения начатого разговора о комплексных числах перейти на следующий уровень изложения материала: http://lib.mexmat.ru/books/13829
Для учителей может быть имеет смысл познакомиться с пособием И. К. Андронова "Математика действительных и комплексных чисел" М. 1975 г. ("Доставая ту или иную нужную для него книгу, Иван Козьмич хлопал ею по своей ладошке и говорил отворачивающимся ученикам: «Не отворачивайтесь. Это пыль не простая; она – ученая, вдыхайте ее и умнейте».")

 
 
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение24.08.2013, 23:14 
Munin в сообщении #757427 писал(а):
А вот от алгебраических до вещественных шаг топологический, а не алгебраический

вообще-то , грамотные люди, которые читают учебники, шагают не от алгебраических чисел , а от рациональных

 
 
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение25.08.2013, 14:51 
Sonic86 в сообщении #756527 писал(а):
А не подскажете литературу?
Я посмотрел по ссылке выше Понарина - там предполагается, что человек уже знает, что такое комплексные числа, причем - алгебраически.
Посмотрел Яглома http://ilib.mccme.ru/djvu/yaglom/compl_num.htm - мне понравилось.
Можно добавить ещё Моденов П.С. Задачи по геометрии. М.: Наука, 1979. Но эти книги, наверное, для тех школьников, которые уже более-менее освоились с алгебраическими действиями над комплексными числами. Вот книжка попроще: Комплексные числа Ю.А.Глазков 2012-600R.djvu (точную ссылку не помню).

 
 
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение25.08.2013, 17:08 
Аватара пользователя
Это было скорее оффтопиком. Если вернуться к исходному вопросу, то ясно, что он в том, как переходить от вещественных чисел к комплексным. На мой взгляд, это значительно проще, чем переход от рациональных к вещественным и даже чем от целых к рациональным :)

Последовательным подходом было бы добавить операцию извлечения корня из отрицательного числа "по аналогии с тем, как мы добавляли разность при переходе к $\mathbb Z$ и частное при переходе к $\mathbb Q$". Но на практике так никто не делает; операция извлечения корня слишком сложная, чтобы ее формально добавить и за всем следить (например, в силу многозначности).

Обычно (во всех курсах для матшкольников, с которыми я имел дело) они вводятся как пары вещественных чисел. Операции вводят аксиоматически. Потом отождествляют вещественные числа с парами $(x,0)$, а пару $(0,1)$ обзывают $i$ и переходят к записи $a+bi$. А уж потом долго рассказывают про то, какие эти числа замечательные, сколько всего с ними можно делать, про геометрическую интерпретацию и т. д.

Я наверное просто повторил написанное кем-то выше, т. к. в курсах для взрослых они вводятся так же. Но не вижу смысла придумывать какое-то специальное детское определение. Матшкольники могут освоить нормальное определение после 8 класса. Обычные школьники, наверное, позднее, но не позже 10-го.

 
 
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение25.08.2013, 19:16 
nnosipov в сообщении #757560 писал(а):
Можно добавить ещё Моденов П.С. Задачи по геометрии. М.: Наука, 1979. Но эти книги, наверное, для тех школьников, которые уже более-менее освоились с алгебраическими действиями над комплексными числами. Вот книжка попроще: Комплексные числа Ю.А.Глазков 2012-600R.djvu (точную ссылку не помню).
Спасибо! Посмотрю.

 
 
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение26.08.2013, 18:14 
Аватара пользователя
 i  Обсуждение введения действительных чисел отделено в отдельную тему О введении действительных чисел.

 
 
 [ Сообщений: 61 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group