Как давать школьникам комплексные числа

[Sonic86]

Oleg Zubelevich в сообщении #756542 писал(а):

Sonic86 писал(а):

Только до алгебраических свойств потом ходить далеко.

в каком смысле "далеко"? По-моему наоборот. Очень удобно расписывать $(a+ib)(u+iv)$, подставляя $ii=-1$. Из коммутативности умножения на базисных векторах следует коммутативность на любых векторах. И ассоциативность тоже самое.

Да, согласен.
Надо только тогда, наверное, показать, что числа вида $(a;0)$ - обычные вещественные числа и тогда новые числа включают старые. Ну это несложно.

Oleg Zubelevich в сообщении #756669 писал(а):

Произведение векторов определим следующим образом.
1) для любого $z$ положим $z\cdot 0=0\cdot z=0$
2) произведением векторов $z_1$ и $z_2,\quad z_1,z_2\ne 0$ называется вектор $z_1z_2$ определенный следующими условиями $|z_1z_2|=|z_1||z_2|,\quad \arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2$
(Последнее равенство понимается в смысле сравнимости по указанному выше модулю)
Алгебраические свойства умножения, тригонометрическая форма комплекусного числа, формула Муавра и много другое после этого просто очевидны. А заодно, кстати, не возникает ощущения, что определение умножения сняли с потолка.

Хотя тоже вариант

В общем, всем спасибо за ответы

[Xaositect]

Oleg Zubelevich в сообщении #756654 писал(а):

warlock66613 в сообщении #756645 писал(а):

Если повернуть систему координат, вектор не изменится, а его координаты и соответсвующее комплексное число изменятся

это вам только так кажется

-- Чт авг 22, 2013 17:26:47 --

warlock66613 в сообщении #756645 писал(а):

Поэтому векторы и комплексные числа - всё-таки разные вещи. Иначе говоря, комплексное число - это вообще не геометрический объект.

это сильно

Тут warlock66613 прав. Комплексная плоскость имеет дополнительную структуру, кроме геометрической. В частности, на комплексной плоскости есть выделенное направление. А геометрически комплексные числа это скорее не векторы, а преобразования подобия. И такая интерпретация в анализе полезна для понимания производной в ТФКП, как мне кажется.

[Oleg Zubelevich]

Xaositect в сообщении #756696 писал(а):

Тут warlock66613 прав.

в чем именно прав? В том, что "комплексное число - это вообще не геометрический объект" ?

Xaositect в сообщении #756696 писал(а):

Комплексная плоскость имеет дополнительную структуру, кроме геометрической. В частности, на комплексной плоскости есть выделенное направление

Да, есть выделенное направление. И евклидову метрику тоже надо задать и ориентацию. Вот этими вещами и определяется произвол при превращении двумерного линейного пространства в поле комплексных чисел.
Непонятно только почему эта дополнительная структура (выделенное направление+метрика+ориентация) в линейном пространстве не является геометрической.

Xaositect в сообщении #756696 писал(а):

А геометрически комплексные числа это скорее не векторы, а преобразования подобия

Преобразования подобия это еще одна интерпретация. Чем она лучше векторов мне непонятно.

[warlock66613]

Oleg Zubelevich в сообщении #756733 писал(а):

почему эта дополнительная структура (выделенное направление+метрика+ориентация) в линейном пространстве не является геометрической

Нет, я такого не утверждаю. Вся эта структура безусловно геометрическая. Но всё-таки это только одна из возможных геометрических интерпретаций. Собственно же комплексные числа геометрическими объектами не являются.

[Oleg Zubelevich]

warlock66613 в сообщении #756741 писал(а):

Собственно же комплексные числа геометрическими объектами не являются.

Вы не используете геометрический язык при построении поля комплексных чисел, для Вас оно не являентся геометрическитм объектом. А я использую. Не надо отрицать ни ту ни другую возможность. Только и всего.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #756742 писал(а):

Не надо отрицать ни ту ни другую возможность.

Если $A$ можно сделать без $B,$ то $A$ не является $B.$

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #756753 писал(а):

Если $A$ можно сделать без $B,$ то $A$ не является $B.$

$A$ как раз является $B$. Обе модели комплексных чисел изоморфны друг другу.

[mihailm]

Oleg Zubelevich в сообщении #756542 писал(а):

...Вы, очевидно, кроме Шарыгина не читали ничего...

А вы видимо школьникам ничего не преподавали.

-- Пт авг 23, 2013 12:54:04 --

Sonic86 в сообщении #756527 писал(а):

...а формулу Муавра и тригонометрическое представление дают? Т.е. после 10-го класса? Или там школьники уже навороченные?...

Обязательно, и тригонометрическое представление и формулу Муавра, а школьников достаточно обычных)
Тема "Комплексные числа" очень долго была школьной, там все хорошо разработано.

[мат-ламер]

Sonic86 в сообщении #756434 писал(а):

Просто интересно, что школьник должен знать, чтобы ему можно было объяснить, что можно делать с комплексными числами, и чтобы школьник смог их освоить.

А каких школьниках идёт речь? Насколько я знаю (если что не так, так я не из России) математика может быть в школе обычным предметом, профильным и есть школы со специализацией по математике. В обычных школах математика нужна по минимуму. А если математика - профильный предмет, то может не стоит изобретать велосипед, а посмотреть школьные учебники? В некоторых из них всё-таки комплексные числа есть (несмотря на мнение Колмогорова).

[Alexandr]

Может быть имеет смысл обратиться к опыту изложения темы "Комплексные числа" Д. К. Фаддеевым и И. С. Соминским http://lib.mexmat.ru/books/81519 ?
И в качестве продолжения начатого разговора о комплексных числах перейти на следующий уровень изложения материала: http://lib.mexmat.ru/books/13829
Для учителей может быть имеет смысл познакомиться с пособием И. К. Андронова "Математика действительных и комплексных чисел" М. 1975 г. ("Доставая ту или иную нужную для него книгу, Иван Козьмич хлопал ею по своей ладошке и говорил отворачивающимся ученикам: «Не отворачивайтесь. Это пыль не простая; она – ученая, вдыхайте ее и умнейте».")

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #757427 писал(а):

А вот от алгебраических до вещественных шаг топологический, а не алгебраический

вообще-то , грамотные люди, которые читают учебники, шагают не от алгебраических чисел , а от рациональных

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #756527 писал(а):

А не подскажете литературу?
Я посмотрел по ссылке выше Понарина - там предполагается, что человек уже знает, что такое комплексные числа, причем - алгебраически.
Посмотрел Яглома http://ilib.mccme.ru/djvu/yaglom/compl_num.htm - мне понравилось.

Можно добавить ещё Моденов П.С. Задачи по геометрии. М.: Наука, 1979. Но эти книги, наверное, для тех школьников, которые уже более-менее освоились с алгебраическими действиями над комплексными числами. Вот книжка попроще: Комплексные числа Ю.А.Глазков 2012-600R.djvu (точную ссылку не помню).

[g______d]

Это было скорее оффтопиком. Если вернуться к исходному вопросу, то ясно, что он в том, как переходить от вещественных чисел к комплексным. На мой взгляд, это значительно проще, чем переход от рациональных к вещественным и даже чем от целых к рациональным :)

Последовательным подходом было бы добавить операцию извлечения корня из отрицательного числа "по аналогии с тем, как мы добавляли разность при переходе к $\mathbb Z$ и частное при переходе к $\mathbb Q$". Но на практике так никто не делает; операция извлечения корня слишком сложная, чтобы ее формально добавить и за всем следить (например, в силу многозначности).

Обычно (во всех курсах для матшкольников, с которыми я имел дело) они вводятся как пары вещественных чисел. Операции вводят аксиоматически. Потом отождествляют вещественные числа с парами $(x,0)$, а пару $(0,1)$ обзывают $i$ и переходят к записи $a+bi$. А уж потом долго рассказывают про то, какие эти числа замечательные, сколько всего с ними можно делать, про геометрическую интерпретацию и т. д.

Я наверное просто повторил написанное кем-то выше, т. к. в курсах для взрослых они вводятся так же. Но не вижу смысла придумывать какое-то специальное детское определение. Матшкольники могут освоить нормальное определение после 8 класса. Обычные школьники, наверное, позднее, но не позже 10-го.

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #757560 писал(а):

Можно добавить ещё Моденов П.С. Задачи по геометрии. М.: Наука, 1979. Но эти книги, наверное, для тех школьников, которые уже более-менее освоились с алгебраическими действиями над комплексными числами. Вот книжка попроще: Комплексные числа Ю.А.Глазков 2012-600R.djvu (точную ссылку не помню).

Спасибо! Посмотрю.

[Deggial]

Обсуждение введения действительных чисел отделено в отдельную тему О введении действительных чисел.