Тонкое AM-GM

[arqady]

Для неотрицательных $a$, $b$, $c$ и $d$ докажите, что:

$$a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}+\sqrt[4]{abcd}\leq\frac{10}{7}(a+b+c+d)$$

[profrotter]

Взять неравенства Коши между средним геометрическим и средним арифметическим да и посмотреть что получится.

[arqady]

profrotter в сообщении #755761 писал(а):

Взять неравенства Коши между средним геометрическим и средним арифметическим да и посмотреть что получится.

Правильно!
Только как Вы их собираетесь применять?

[cool.phenon]

Мне кажется, что здесь нужно пользоваться неопределёнными коэффициентами, то есть, взять, например
$\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}=\frac{10}{7}$,$\beta_{1}+\beta_{2}+\beta_{3}=\frac{10}{7}$ и так далее, а затем применить

$$\alpha_{1}a+\beta_{1}b+\gamma_{1}c +\delta_{1}d\ge \sqrt[4]{abcd},$$

только учесть, что сумма коэффициентов в каждом неравенстве -- единица.

[arqady]

cool.phenon в сообщении #755784 писал(а):

$$\alpha_{1}a+\beta_{1}b+\gamma_{1}c +\delta_{1}d\ge \sqrt[4]{abcd},$$

только учесть, что сумма коэффициентов в каждом неравенстве -- единица.

С Вашим ограничением это возможно только если $\alpha_{1}=\beta_{1}=\gamma_{1} =\delta_{1}=\frac{1}{4}$.

[profrotter]

Каюсь - поспешил. В лоб не выходит.

[TOTAL]

cool.phenon в сообщении #755784 писал(а):

Мне кажется, что здесь нужно пользоваться неопределёнными коэффициентами, то есть, взять, например
$\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}=\frac{10}{7}$,$\beta_{1}+\beta_{2}+\beta_{3}=\frac{10}{7}$ и так далее, а затем применить

$$\alpha_{1}a+\beta_{1}b+\gamma_{1}c +\delta_{1}d\ge \sqrt[4]{abcd},$$

только учесть, что сумма коэффициентов в каждом неравенстве -- единица.

Только учесть, что произведение коэффициентов

$$\alpha_{1}\beta_{1}\gamma_{1}\delta_{1} \ge \frac{1}{4^4}$$

и т.д.

[Edward_Tur]

К $\alpha_{1}a+\beta_{1}b+\gamma_{1}c +\delta_{1}d\ge \sqrt[4]{abcd}, \alpha_{1}\beta_{1}\gamma_{1}\delta_{1} \ge \frac{1}{4^4}$ нужно добавить условие достижения равенства в исходном неравенстве:
$\frac{1}{\alpha_{1}}:\frac{1}{\beta_{1}}:\frac{1}{\gamma_{1}}:\frac{1}{\delta_{1}}=1:0.292272:0.354848:0.0304557$

[arqady]

Вот здесь моё доказательство:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 2&t=549731

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #755756 писал(а):

Для неотрицательных $a$, $b$, $c$ и $d$ докажите, что:

$$a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}+\sqrt[4]{abcd}\leq\frac{10}{7}(a+b+c+d)$$

For all positive $a_1,a_2 \dots a_n$ find the minimum $ \lambda_n$ so :

$$ a_1+\sqrt{a_1 a_2}+ \dots +\sqrt[n]{a_1a_2 \dots a_n}\le \lambda_n (a_1+a_2+\dots +a_n).$$

$t_n = -\frac{1}{\lambda_n} $ is a root of the equation :

$$\left( \dots\left( \left(1+\frac{t_n}{1}\right)^\frac{1}{2} + \frac{t_n}{2}\right) ^\frac{2}{3}+\dots +\frac{t_n}{n-1}\right)\right)^\frac{n-1}{n}+\frac{t_n}{n}=0$$

$$ \lim {\lambda_n}= e $$