Уравнение с тремя степенями

[Vladimir-80]

Друзья, подкиньте идею для решения!

В книжке "Система тренировочных задач и упражнений по математике" (А.Я. Симонов, Д.С. Бакаев, А.Г. Эпельман и др. - М.: Просвещение. 1991) есть задача 2Б149:
$\sqrt{1+\sqrt[3]{x}}+\sqrt{4-\sqrt[3]{x}}=\sqrt[3]{x}$
Сначала обозначаю $\sqrt[3]{x}$ как $a$.
Получаю уравнение $\sqrt{1+a}+\sqrt{4-a}=a$
Пару раз возведя всё в квадрат, получаю уравнение $a^4-6a^2-12a+9=0$
Что делать с ним дальше? Если не ошибаюсь, в школе такого (решение уравнения, в котором есть четвёртая, вторая и первая степени неизвестной) не давали, хотя в предисловии к задачнику сказано, что он для учащихся средних школ. Может я крепко что-то подзабыл? Или изначально пошёл не тем путём?

[mihailm]

Ну действительно, скорее всего в школе ЭТО уравнение не давали, и еще миллион других не давали. Зато в школе давали методы с помощью которых его можно решить. Например группировка и разложение на множители. Коэффициент при квадрате представьте в виде 9-3

[Vladimir-80]

В этом направлении пробовал, видимо, не очень прилежно...
Спасибо за совет, попробую ещё раз.

[Vladimir-80]

Преобразовал. Получилось
$(a-3)\cdot(a^2(a+3)+(a-3)+2a)=0$
Первый корень $a=3$ понятен и соответствует тому, что элементарно подбирается при взгляде на исходное уравнение. Но у нас остаётся второй множитель
$(a^2(a+3)+(a-3)+2a)=0$
Его "разбираю" и получаю $a^3+3a^2+3a-3=0$, откуда можно вывести $(a^3+3a^2+3a+1)-4=(a+1)^3-4=0$
Получается $a=\sqrt[3]{4}-1$
Проверить этот корень, подставив его в исходное уравнение, достаточно сложно:
$\sqrt{1+a}+\sqrt{4-a}=\sqrt{1+\sqrt[3]{4}-1}+\sqrt{4-(\sqrt[3]{4}-1)}=\sqrt[6]{4}+\sqrt{5-\sqrt[3]{4}}$, что должно быть равно $\sqrt[3]{4}-1$
А вот равно ли?

[denisart]

Vladimir-80 в сообщении #754758 писал(а):

$\sqrt{1+a}+\sqrt{4-a}=\sqrt{1+\sqrt[3]{4}-1}+\sqrt{4-(\sqrt[3]{4}-1)}=\sqrt[6]{4}+\sqrt{5-\sqrt[3]{4}}$, что должно быть равно $\sqrt[3]{4}-1$
А вот равно ли?

(Оффтоп)

тут посмотрите

[Vladimir-80]

Судя по результатам вычисления Вольфрама, второй корень неверен.
$4^{1/3}-1-(4^{1/6}+\sqrt{5-4^{1/3}})\approx -2,519$
Хотя в моих вычислениях вроде бы всё правильно. Такое может быть?
Завтра перепроверю ещё разок на всякий случай...

[mihailm]

после первого возведения в квадрат, надо подставлять $\sqrt[3]{4}-1$, там понятно

[Aritaborian]

Vladimir-80, даю наводку: ваше уравнение имеет лишь один корень, $x=27$ (соответственно, $a=3$).

[Vladimir-80]

Это я уже понял. Смутно припоминаю из школьных времён, что при решении уравнений вроде бы порой возникали "неверные" корни, причём связано это было именно с возведением в степень при преобразовании исходных уравнений. Только вот воспоминания весьма абстрактные, без конкретной причины...

[Aritaborian]

Вот и почитайте про побочные корни и причины их появления.

[Vladimir-80]

Мне уже в личку подсказку по побочным корням кинули, в связи с чем и припомнилось из прошлого чуть больше, и логическая картина явления стала более цельной. Но всё равно почитаю литературу.
Большое спасибо всем отписавшимся!