В предыдущем сообщении я привел пример преобразования Лагранжа с участием полиномов Чебышева. Существует аналогичный пример, но в нем связь с полиномами Чебышева (на этот раз с

) более сложная, и коротко описать ее не удастся. Поэтому приведу только окончательный результат, в справедливости которого может убедиться каждый желающий. Если

то


Оказывается, что


где
![$$t_{n,a,b}(x)=p_n\prod\limits_{m=1}^{[n/2]}\left(\frac{a^2-b\cos^2\frac{2m-1}{2n}\pi}{\cos^2\frac{2m-1}{2n}\pi}\right)\prod\limits_{m=1}^n\left(x+\frac{i\cos\frac{2m-1}{2n}\pi}{\sqrt{a^2-b\cos^2\frac{2m-1}{2n}\pi}}\right),$$ $$t_{n,a,b}(x)=p_n\prod\limits_{m=1}^{[n/2]}\left(\frac{a^2-b\cos^2\frac{2m-1}{2n}\pi}{\cos^2\frac{2m-1}{2n}\pi}\right)\prod\limits_{m=1}^n\left(x+\frac{i\cos\frac{2m-1}{2n}\pi}{\sqrt{a^2-b\cos^2\frac{2m-1}{2n}\pi}}\right),$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/1/83106a04a05e4a140dd290f817ab40c282.png)
![$[n/2]$ $[n/2]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/3/973922ce036989b1826b135f49e21f4c82.png)
- целая часть от n/2;

соответственно для четных и нечетных n; множитель
![$\prod\limits_{m=1}^{[n/2]}\sec^2\frac{2m-1}{2n}\pi$ $\prod\limits_{m=1}^{[n/2]}\sec^2\frac{2m-1}{2n}\pi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/7/c278367a75dbdf4bca986aa9f5f4b91682.png)
равен

, если n четно, и

, если n нечетно; если один из сомножителей ( в случаае

- любой из сомножителей) множителя
![$\prod\limits_{m=1}^{[n/2]}\left(a^2-b\cos^2\frac{m-1}{2n}\pi\right)$ $\prod\limits_{m=1}^{[n/2]}\left(a^2-b\cos^2\frac{m-1}{2n}\pi\right)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/c/bbcdde4d4c7be0f745f490d9415fbca082.png)
равен нулю, он заменяется на

с соответствующим значением m; соответствующий ему полином

заменяется на единицу;
![$$u_{n,a,b}(x)=r_n\prod\limits_{m=1}^{\left[\frac{n-1}2\right]}\left(\frac{a^2-b\cos^2\frac{m}n\pi}{\cos^2\frac{m}n\pi}\right)\prod\limits_{m=1}^{n-1}\left(x+\frac{i\cos\frac{m}n\pi}{\sqrt{a^2-b\cos^2\frac{m}n\pi}}\right),$$ $$u_{n,a,b}(x)=r_n\prod\limits_{m=1}^{\left[\frac{n-1}2\right]}\left(\frac{a^2-b\cos^2\frac{m}n\pi}{\cos^2\frac{m}n\pi}\right)\prod\limits_{m=1}^{n-1}\left(x+\frac{i\cos\frac{m}n\pi}{\sqrt{a^2-b\cos^2\frac{m}n\pi}}\right),$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/f/2bf58c2d706fcbb6361e29cc6e00d80582.png)

;множитель
![$\prod\limits_{m=1}^{[(n-1)/2]}\sec^2\frac{m}n\pi$ $\prod\limits_{m=1}^{[(n-1)/2]}\sec^2\frac{m}n\pi$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/8/a4858decfb2be5f13301e91d8054b8df82.png)
равен

, если n четно, и

, если n нечетно; если один из сомножителей ( в случае

- любой из сомножителей) множителя
![$\prod\limits_{m=1}^{[(n-1)/2]}\left(a^2-b\cos^2\frac{m}n\pi\right)$ $\prod\limits_{m=1}^{[(n-1)/2]}\left(a^2-b\cos^2\frac{m}n\pi\right)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/8/768315d4033027db50284e8c2a0332b182.png)
равен нулю, он заменяется на

с соответствующим значением m; соответствующий ему полином

заменяется на единицу.
Учтем равенства
![$$\prod\limits_{m=1}^{[n/2]}\sin^2\frac{2m-1}{2n}\pi=\frac1{2^{n-1}},\quad\prod\limitss_{m=1}^{\left[\frac{n-1}2\right]}\sin^2\frac{m}n\pi=\frac{n}{2^{n-1}}$$ $$\prod\limits_{m=1}^{[n/2]}\sin^2\frac{2m-1}{2n}\pi=\frac1{2^{n-1}},\quad\prod\limitss_{m=1}^{\left[\frac{n-1}2\right]}\sin^2\frac{m}n\pi=\frac{n}{2^{n-1}}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/5/985abab09889ab62c227ccda968d5ba582.png)
и отметим,что



Полиномы

связаны с полиномами

последовательностью преобразований

где

- оператор подстановки и оператор перестановки коэффициентов полинома n-й степени в обратном порядке. Подобная цепочка преобразований связывает

с

и

с

. Но там участвуют и другие операторы (нельзя сказать, что более сложные, - сложно обосновать их применение), описание которых мы как раз опустили.
P.S. Может возникнуть впечатление, что я занимаюсь пропагандой своих идей. Но это не идеи, а наблюдения. Я излагаю факты, которые, по всем признакам, должны быть общеизвестными, но почему-то такими не являются.