Вопрос про гомоморфизмы

[dj100500]

Смотрю записи лекций, там утверждается, что для гомоморфизма $f: A \rightarrow B$ $f(1_{A}) $ не обязательно равно $1_{B}$, приводят следуйщий пример:
$f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\newline a \rightarrow (a,0)$

Но ведь $f(1_{A})f(a)=f(1_{A}\cdota)=f(a)$
то есть $f(1_{A})$ - нейтральный элемент в кольце $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$

Понимаю - неправ, но не понимаю почему..

[AV_77]

$(1, 0)(0, 1) = \ldots$

[JMH]

AV_77 в сообщении #754542 писал(а):

$(1, 0)(0, 1) = \ldots$

Ничего не понимаю... Раз $\mathbb{Z}$, то групповая операция - сложение, т.е. $(1,0)+(0,1)=(1,1)$, что не является нейтральным элементом (единицей) $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$. И вобще, при любом гомоморфизме, нейтральный элемент переходит в нейтральный, иначе не сохраняется групповая операция... что здесь не так?

[Someone]

Надо, наверное, уточнить, что понимается под $\mathbb Z\oplus\mathbb Z$, группа или кольцо.

[AV_77]

JMH в сообщении #754551 писал(а):

И вобще, при любом гомоморфизме, нейтральный элемент переходит в нейтральный, иначе не сохраняется групповая операция... что здесь не так?

При гомоморфизме групп нейтральный элемент переходит в нейтральный. Но при гомоморфизме колец это не обязательно, что ваш пример и показывает.

[JMH]

Да, извините, не въехал, что имелись ввиду кольца