Вторая производная обратной функции

[antonk]

Помогите пожалуйста найти ошибку в моих рассуждениях.

Для производной обратной функции имеем:
$y' = \frac1{x'}$ где $y' = \frac{dy}{dx}$ и $x' = \frac{dx}{dy}$

Если продифференцировать еще раз:
$y'' = \frac{-x''}{x'^2}$ (1)

Теперь пример:
$y = x^2$
$x = \sqrt y$
$y' = 2 x$
$x' = \frac1 {2 \sqrt y } = \frac1{2 x}$
$y'' = 2$
$x'' = \frac{-1}{4 y^1.5} = \frac{-1}{4 x^3}$

Подставив значения x'' и x' в (1) получим $\frac1x$
т.е получим несоответствие с $y'' = 2$

Почему-то в этом и некоторых других примерах работает соотношение $y'' = \frac{-x''}{x'^3}$

Помогите пожалуйста найти ошибку в моих рассуждениях. Заранее благодарен.

[Someone]

Вы левую часть дифференцируете по $x$, а правую — по $y$. Между тем, обе надо дифференцировать по $x$.

[Otta]

antonk в сообщении #754537 писал(а):

Почему-то в этом и некоторых других примерах работает соотношение $y'' = \frac{-x''}{x'^3}$

Потому что именно оно верно.