Конус с шариком

[dovlato]

С конусом когда-то я посылал, кажется, в Квант.
Неподвижный круговой конус с жёсткими стенками и вертикальной осью расположен вершиной вниз. Угол раствора $\alpha$.
Маленький шарик, соприкасающийся со стенкой, имеет начальный вектор скорости $v_0$, по касательной, горизонтально.
Найти максимальную скорость шарика.

[Oleg Zubelevich]

Так, значит надо найти условный максимум функции $T(r,\dot r,\dot\phi)$ при ограничениях

$$T+V=h,\quad p_\phi=k$$

$$T=\frac{m}{2}(\dot r^2 a^2+\dot r^2+r^2\dot\phi^2),\quad V=mgra,\quad a=\ctg\alpha,\quad p_\phi=mr^2\dot\phi$$

Для вычисления констант первых интегралов $h,k$ еще надо знать начальную высоту шарика, или что там в процессе вычислений оно как-то уничтожится?

[dovlato]

В задаче не требуется найти закон движения. А просто, исходя из законов сохранения энергии и момента импульса, определяется максимальная (либо минимальная!) скорость, ну и заодно - в каких пределах по высоте будет оставаться шарик всё время движения. Кстати, к принципиальным усложнениям не приводит отказ от предположения о горизонтальности начальной скорости.
Интуитивно ясно, что движение строго периодическое по высоте, и что точки достижения экстремальных высот равномерно "вращаются". Но тут уже школьной математикой вряд ли обойдёшься.

[Oleg Zubelevich]

так и я об этом, просто a priori непонятно, как можно это сделать, не зная констант первых интегралов

[nikvic]

dovlato в сообщении #754042 писал(а):

Найти максимальную скорость шарика.

"Горизонтальная" скорость обратно пропорциональна "горизонтальному" радиусу, его квадрат плюс квадрат скорости (со множителями) - константа. Квадратное уравнение, один из корней которого известен?

[dovlato]

Не скажу)). Ну вернитесь вы наконец ненадолго в школу, отвлекитесь от привычного вузовского тупизма)).
Да, чуть не забыл: начальная высота (или, если угодно, начальное расст. от оси), конечно, задана.

[Oleg Zubelevich]

dovlato в сообщении #754056 писал(а):

Да, чуть не забыл: начальная высота (или, если угодно, начальное расстояние), конечно, задана.

вот про это я и спрашивал. все больше вопросов нет

[dovlato]

Зато у меня появился. Уравнение получилось кубическое. Вай-вай.. А впрочем, один корень известен $v_0$, так что до квадратного всё же доводится.

[nikvic]

dovlato в сообщении #754058 писал(а):

Зато у меня появился. Уравнение получилось кубическое. Вай-вай.. Надо было сначала решить, а потом писать.

Действительно, кубическое.
Но один-то корень есть - в условии горизонтальности

[Oleg Zubelevich]

nikvic в сообщении #754054 писал(а):

его квадрат плюс квадрат скорости (со множителями) - константа.

и это после того, как уже первые интегралы выписаны

[dovlato]

Наверное, задача всё ещё решаема в школе, если позволить конусу с известным отношением своей массы к массе шарика - скользить по горизонтали, сохраняя вертикальность оси.

[nikvic]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #754060 писал(а):

и это после того, как уже первые интегралы выписаны

Чукча не читатель

[Oleg Zubelevich]

dovlato в сообщении #754065 писал(а):

Наверное, задача всё ещё решаема в школе, если позволить конусу с известным отношением своей массы к массе шарика - скользить по горизонтали, сохраняя вертикальность оси.

формально-да, а фактически, не знаю о каких таких школах Вы говорите

[dovlato]

Oleg Zubelevich в сообщении #754060 писал(а):

nikvic в сообщении #754054 писал(а):

его квадрат плюс квадрат скорости (со множителями) - константа.

и это после того, как уже первые интегралы выписаны

Конец лета. Пора уже вспоминать, как они рисуются..красивые такие.

-- Пн авг 12, 2013 13:01:54 --

Oleg Zubelevich в сообщении #754068 писал(а):

dovlato в сообщении #754065 писал(а):

Наверное, задача всё ещё решаема в школе, если позволить конусу с известным отношением своей массы к массе шарика - скользить по горизонтали, сохраняя вертикальность оси.

формально-да, а фактически, не знаю о каких таких школах Вы говорите

Ну.. в ЗФТШ)) Когда-то студентом там честно работал. Интересно даже.

[Oleg Zubelevich]

ну тогда nikvic выпишите пожалуйста формулу соответствующую этой фразе:

nikvic в сообщении #754054 писал(а):

"Горизонтальная" скорость обратно пропорциональна "горизонтальному" радиусу, его квадрат плюс квадрат скорости (со множителями) - константа.

-- Пн авг 12, 2013 12:04:59 --

dovlato
или Вы выпишите , если понимаете что он имел в виду