Небольшой вопрос по топологии

[ChaosProcess]

Вот есть топологическое пространство $R$. Введем некоторую базу окрестностей $T$ и операцию замыкания. Выделим точку $a\in R$. Она является замкнутым множеством. Тогда $R\diagdown a$ является областью, т.е. может быть представлена в виде объединения окрестностей из $T$. В то же время $R$ - одновременно замкнутое и открытое множество, т.е. может быть представлено в виде объединения из $T$. Наиболее прямой способ получения разложения $R$ - добавить окрестность - точку $a$ к разложению $R\a$. Но а - замкнутое множество. Как же быть тогда?

[Oleg Zubelevich]

ChaosProcess в сообщении #753719 писал(а):

Выделим точку $a\in R$. Она является замкнутым множеством.

смотря какая топология

ChaosProcess в сообщении #753719 писал(а):

Наиболее прямой способ получения разложения $R$

это само $R$

[ChaosProcess]

Oleg Zubelevich в сообщении #753727 писал(а):

смотря какая топология

Если определить топологическое пространство через операцию замыкания, то одна из аксиом будет:

$$a=\bar{a}.$$

Можно показать непротиворечивость определения через полную систему окрестностей и через замыкание. Поэтому a - всегда замкнутое множество.

[Oleg Zubelevich]

в дискретной топологии любое множество является и открытым и замкнутым, так в чем вопрос-то?

[ChaosProcess]

Oleg Zubelevich в сообщении #753732 писал(а):

в дискретной топологии любое множество является и открытым и замкнутым, так в чем вопрос-то?

Да нет, нормально все. Спасибо.

[Oleg Zubelevich]

ну я так и не понял в чем пафос вашего выступления... представили топологическое пространство в виде объединения открытого и замкнутого множества. это типа чему-то противоречить что ли должно было?

[Someone]

ChaosProcess в сообщении #753730 писал(а):

Если определить топологическое пространство через операцию замыкания, то одна из аксиом будет:

$$a=\bar{a}.$$

Нет такой аксиомы в топологии. Точнее, это одна из аксиом отделимости, которая обозначается $T_1$ (или $\mathscr T_1$). Но аксиомы отделимости не входят в число обязательных аксиом.

По поводу определения топологии оператором замыкания смотрите лучше К. Куратовского (Топология. Том 1. "Мир", Москва, 1966), Глава 1, § 4, или, ещё лучше, более современную книгу Р. Энгелькинга (Общая топология. Москва, "Мир", 1986), Глава1, параграфы 1.1 и 1.2.

[ChaosProcess]

Oleg Zubelevich в сообщении #753737 писал(а):

ну я так и не понял в чем пафос вашего выступления... представили топологическое пространство в виде объединения открытого и замкнутого множества. это типа чему-то противоречить что ли должно было?

Да не, я че-то забыл, что включают в базу само $R$.

Someone в сообщении #753750 писал(а):

Нет такой аксиомы в топологии. Точнее, это одна из аксиом отделимости, которая обозначается $T_1$ (или $\mathscr T_1$). Но аксиомы отделимости не входят в число обязательных аксиом.

По поводу определения топологии оператором замыкания смотрите лучше К. Куратовского (Топология. Том 1. "Мир", Москва, 1966), Глава 1, § 4, или, ещё лучше, более современную книгу Р. Энгелькинга (Общая топология. Москва, "Мир", 1986), Глава1, параграфы 1.1 и 1.2.

Ну я читаю Понтрягина Непрерывные группы, он так определил.

[Someone]

Ну, Понтрягину слишком общие топологические пространства не нужны, поэтому он сразу в определении наложил ограничение на аксиомы отделимости. А в общем определении топологического пространства такого ограничения нет.