Фундаментальные понятия в университетских курсах

[Otta]

Deggial: Обсуждение отделено от темы Вопросы про открытое подмножество..
Если название темы неудачно - пишите ЛС, исправлю.

JMH в сообщении #753661 писал(а):

Меня интересует другая сторона вопроса: верно ли методически вводить такие понятия, как открытые множества, пользуясь метрикой? Ведь её, метрики, может и не быть...

В курсе математического анализа так часто делают, уступая топологические пространства другим дисциплинам, более поздним. В конце концов, анализу - анализово, на конечномерных пространствах, которые там рассматриваются с сугубо утилитарной целью, метрика вводится все равно, и даже норма. И даже скалярное произведение. Так пуркуа бы и не па, раз все равно все этим кончится?

-- 10.08.2013, 02:52 --

JMH в сообщении #753661 писал(а):

Термин стандартный - множество крайних точек или край множетсва - это пересечение замыкания множества с замыканием его дополнения.

Никогда не слышала, честно сказать, этот термин. Граница, множество граничных точек - да.

[JMH]

Otta в сообщении #753663 писал(а):

В курсе математического анализа так часто делают, уступая топологические пространства другим дисциплинам, более поздним. В конце концов, анализу - анализово, на конечномерных пространствах, которые там рассматриваются с сугубо утилитарной целью, метрика вводится все равно, и даже норма. И даже скалярное произведение. Так пуркуа бы и не па, раз все равно все этим кончится?

Мне лично гораздо проще двигаться от общего к частному, а не наоборот. И вобще, в классических курсах анализа много чего делают по традиции, например, по традиции же, теорема Хана-Банаха в КФ присутствует в двух экземплярах: для действительных чисел и для комплексных. Кому от этого лучше? Мне кажется, такие традиции нужно менять.

Otta в сообщении #753663 писал(а):

Никогда не слышала, честно сказать, этот термин. Граница, множество граничных точек - да.

И так пишут и эдак, возможно ранние переводы виноваты.

[Otta]

JMH в сообщении #753664 писал(а):

Мне лично гораздо проще двигаться от общего к частному, а не наоборот.

Мне тоже, и когда читала анализ, всегда читала топологические пространства.
Боюсь, однако, что это не всегда и не везде возможно. Скажем, я не рискнула бы делать это сейчас - на любой специальности первого курса, а тем более, на нематематической.

Более того, точно знаю, что наши местные математики теперь выпускаются, даже не столкнувшись с упоминанием о топологических пространствах. Такова, к сожалению, селяви. Далека она от идеального представления о ней.

[JMH]

(Оффтоп)

Думаю, это уже не совсем в тему и, чтобы не получить нахлобучку от модера, сдвигаюсь в оффтопик

Меня всегда напрягает использование стереотипов в математике и особенно пренебрежительное (подчёркиваю: в стандартных курсах!) отношение к фундаментальным вещам. Вопиущий пример: изучают сложные свойства сложных структур, определённых на числовых множествах и забывают о том, что ни разу не давали определение натурального числа, каковое даётся только в фундаментальных курсах аксиоматической теории множеств.

[Xaositect]

JMH в сообщении #753668 писал(а):

Думаю, это уже не совсем в тему и, чтобы не получить нахлобучку от модера, сдвигаюсь в оффтопик

Это вообще интересная тема, возможно ее стоит обсудить в дискуссионном разделе или педагогическом.

JMH в сообщении #753668 писал(а):

Меня всегда напрягает использование стереотипов в математике и особенно пренебрежительное (подчёркиваю: в стандартных курсах!) отношение к фундаментальным вещам. Вопиущий пример: изучают сложные свойства сложных структур, определённых на числовых множествах и забывают о том, что ни разу не давали определение натурального числа, каковое даётся только в фундаментальных курсах аксиоматической теории множеств.

Здесь на самом деле много серьезных проблем.
Во-первых, основания математики и теория множеств --- это тема достаточно большая и где-то ее все-таки нужно отсекать. На мой личный взгляд, если уж давать определение натуральных чисел через множества, то на этом останавливаться нельзя, потому что что такое множество - это тоже вопрос сложный, и для достаточного понимания надо прочитать хотя бы теорему Геделя о полноте, теорему Геделя о неполноте и сказать о нестандартных моделях.
Во-вторых, несмотря на то, что традиционно всегда кивают на ZFC, фактически это не единственная возможная и не всем нужная система оснований математики. В некоторых разделах алгебры, например, практически никогда теоретико-множественная природа объектов не нужна, и более естественным там будет что-нибудь основанное на теории категорий (топосы или теории типов). Для тех же натуральных чисел совершенно не важна природа собственно самих натуральных чисел, достаточно сказать, что это инициальная алгебра функтора $(1+\cdot)$..
В-третьих (наверное это переформулировка во-вторых, но все-таки напишу еще раз), на самом деле для изучения "сложных свойств сложных структур" не нужно знать, что эти структуры существуют, и в каком именно смысле они существуют, надо только знать простые свойства сложных структур. То есть когда определяют те же натуральные или действительные числа аксиоматически и не показывают конкретную модель, на самом деле это никому особо не важно, потому что всем известно, что действительные числа действительно работают, и в математике и на практике, и это достаточное обоснование возможности изучения объекта с такими свойствами, с некоторой точки зрения гораздо более достаточное, чем существование теоретико-множественных моделей, которые существуют в какой-то там теории множеств, которая сама по себе сомнительна гораздо больше, чем натуральные или действительные числа.

[JMH]

Xaositect в сообщении #753672 писал(а):

Во-первых, основания математики и теория множеств --- это тема достаточно большая и где-то ее все-таки нужно отсекать. На мой личный взгляд, если уж давать определение натуральных чисел через множества, то на этом останавливаться нельзя, потому что что такое множество - это тоже вопрос сложный, и для достаточного понимания надо прочитать хотя бы теорему Геделя о полноте, теорему Геделя о неполноте и сказать о нестандартных моделях.

Я всегда полагал, что аксиоматическая теория множетсв довольно-таки независима и может быть построена посредством $L_1 \text{ Set}$. Может быть потому, что мои взгляды на математику, в значительной степени, сформированы книгами Бурбаки... Мне казалось, да и сейчас кажется, что слово "множество" - синоним слова "терм" и всю аксиоматику ZFC можно строить не давая формального определения тому, что такое множество и не зная теории моделей и теории типов.

Xaositect в сообщении #753672 писал(а):

Во-вторых, несмотря на то, что традиционно всегда кивают на ZFC, фактически это не единственная возможная и не всем нужная система оснований математики.

Полностью согласен, можно дать одну модель и, для сравнения, краткий обзор NBG - хотя бы для того, чтобы не создавалось ложного впечатления черезмерного благополучия

А вобще, сама идея углублённого изучения оснований мне нравится - в конце концов цель университета, как мне представляется, не в том, чтобы дать студентам практические знания, а в том, чтобы научить думать. Я, разумеется, не говорю, что не нужно учить анализу

[Oleg Zubelevich]

у меня как-то создается впечатление, что "основания математики" в широком смысле этого слова, мат. логика, теория множеств и тд, это какие-то разделы сами в себе. Есть большой блок родственных математических дисциплин, которые между собой сильно сообщаются: фунциональный анализ (я сюда включаю и матан и тфкп и тфдп), дифференциальная геометрия, дифференциальные уравнения ( и обыкновенные и урчп) , теория вероятностей. И такое ощущение, что они вполне обходятся наивной теорией множеств+аксиома выбора . Ну, естественно, надо еще какие-то тривальные вещи понимать, типа того, что нельзя думать о множестве всех множеств.
Вот для людей, которые урчп занимаются, пространства Соболева это очень важный раздел математики. Но стоит ли студентам кафедры мат.логики читать годовой курс по этим пространствам?

-- Сб авг 10, 2013 10:32:24 --

JMH в сообщении #753664 писал(а):

И вобще, в классических курсах анализа много чего делают по традиции, например, по традиции же, теорема Хана-Банаха в КФ присутствует в двух экземплярах: для действительных чисел и для комплексных. Кому от этого лучше?

не лучше не хуже, т.к. это слишком просто. Вот то, что геометрические версии теоремы Хана-Банаха в стандартные курсы редко попадают, вот это грустно.
а вот ввести в стандартный курс функана локально выпуклые пространства, это действительно следовало бы имхо. И формулировать классические теоремы линейного функана в терминах локально выпуклых пространств.

[Xaositect]

JMH в сообщении #753675 писал(а):

Я всегда полагал, что аксиоматическая теория множетсв довольно-таки независима и может быть построена посредством $L_1 \text{ Set}$. Может быть потому, что мои взгляды на математику, в значительной степени, сформированы книгами Бурбаки... Мне казалось, да и сейчас кажется, что слово "множество" - синоним слова "терм" и всю аксиоматику ZFC можно строить не давая формального определения тому, что такое множество и не зная теории моделей и теории типов.

С такой формалистской точки зрения большинству математиков ZFC вообще не нужна. Я, честно говоря, мало знаю тот же функциональный анализ, но вряд ли там часто нужно выходить за пределы $2^{2^{2^{\mathbb{R}}}}$, так что тут достаточно аксиоматического задания действительных чисел и наивной теории множеств. Детали ZFC совершенно не обязательны для того, чтобы говорить о семействах подмножеств действительной прямой.

JMH в сообщении #753675 писал(а):

Полностью согласен, можно дать одну модель и, для сравнения, краткий обзор NBG - хотя бы для того, чтобы не создавалось ложного впечатления черезмерного благополучия

Как раз про NBG достаточно пары слов, потому что это та же ZFC (консервативное расширение). А про теорию типов можно бы и сказать, тем более что она используется в современных полуавтоматических пруверах типа Coq.

Oleg Zubelevich в сообщении #753687 писал(а):

у меня как-то создается впечатление, что "основания математики" в широком смысле этого слова, мат. логика, теория множеств и тд, это какие-то разделы сами в себе. Есть большой блок родственных математических дисциплин, которые между собой сильно сообщаются: фунциональный анализ (я сюда включаю и матан и тфкп и тфдп), дифференциальная геометрия, дифференциальные уравнения ( и обыкновенные и урчп) , теория вероятностей. И такое ощущение, что они вполне обходятся наивной теорией множеств+аксиома выбора . Ну, естественно, надо еще какие-то тривальные вещи понимать, типа того, что нельзя думать о множестве всех множеств.

Насколько я знаю, небольшие проблемы возникают в алгебраической геометрии, потому что приходится рассматривать функторы между большими категориями. Но я не специалист.

[JMH]

Xaositect в сообщении #753895 писал(а):

А про теорию типов можно бы и сказать, тем более что она используется в современных полуавтоматических пруверах типа Coq[выделение моё - JMH]

А не подскажете, где про это можно почитать?

[Xaositect]

JMH в сообщении #753956 писал(а):

А не подскажете, где про это можно почитать?

Наиболее распространенные proof assistants (не знаю, как это обычно переводится) - это coq (http://coq.inria.fr/documentation) и agda (http://wiki.portal.chalmers.se/agda/pmw ... rtutorials).