Отвлекает меня конкурс от работы
Каждый день работают две программы, одна ищет наименьший ассоциативный квадрат Стенли 8-го порядка из простых чисел, вторая - наименьший совершенный магический квадрат того же порядка из простых чисел. Программы долгоиграющие, объём проверок огромный. И пока никаких решений не найдено.
А я перехожу к ассоциативным квадратам Стенли 10-го порядка из простых чисел.
Сначала покажу пример ассоциативного квадрата Стенли из произвольных натуральных чисел:
Код:
1 11 21 31 41 81 91 101 111 121
131 141 151 161 171 211 221 231 241 251
261 271 281 291 301 341 351 361 371 381
391 401 411 421 431 471 481 491 501 511
521 531 541 551 561 601 611 621 631 641
1041 4051 1061 1071 1081 1121 1131 1141 1151 1161
1171 1181 1191 1201 1211 1251 1261 1271 1281 1291
1301 1311 1321 1331 1341 1381 1391 1401 1411 1421
1431 1441 1451 1461 1471 1511 1521 1531 1541 1551
1561 1571 1581 1591 1601 1641 1651 1661 1671 1681
Индекс квадрата равен
, константа ассоциативности
.
Очевидно, что для квадратов 10-го порядка имеет место равенство
.
Теперь мне нужно найти наименьший ассоциативный квадрат Стенли 10-го порядка из различных простых чисел.
Конфигурация квадрата Стенли 10-го порядка может быть, например, такой:
Код:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20
x21 x22 x23 x24 x25 x26 x27 x28 x29 x30
x31 x32 x33 x34 x35 x36 x37 x38 x39 x40
x41 x42 x43 x44 x45 x46 x47 x48 x49 x50
k-x50 k-x49 k-x48 k-x47 k-x46 k-x45 k-x44 k-x43 k-x42 k-x41
k-x40 k-x39 k-x38 k-x37 k-x36 k-x35 k-x34 k-x33 k-x32 k-x31
k-x30 k-x29 k-x28 k-x27 k-x26 k-x25 k-x24 k-x23 k-x22 k-x21
k-x20 k-x19 k-x18 k-x17 k-x16 k-x15 k-x14 k-x13 k-x12 k-x11
k-x10 k-x9 k-x8 k-x7 k-x6 k-x5 k-x4 k-x3 k-x2 k-x1
где k - константа ассоциативности квадрата.
Если описать только то, что суммы во всех диагоналях квадрата Стенли равны индексу квадрата S, получится всего 8 уравнений:
Код:
x1+x20+x29+x38+x47-x45-x36-x27-x18-x9=0
x2+x11+x30+x39+x48-x44-x35-x26-x17-x8=0
x3+x12+x21+x40+x49-x43-x34-x25-x16-x7=0
x4+x13+x22+x31+x50-x42-x33-x24-x15-x6=0
x10+x11+x22+x33+x44-x46-x35-x24-x13-x2=0
x9+x20+x21+x32+x43-x47-x36-x25-x14-x3=0
x8+x19+x30+x31+x42-x48-x37-x26-x15-x4=0
x7+x18+x29+x40+x41-x49-x38-x27-x16-x5=0
Но это, скорее всего, не полное описание квадрата. Ведь из равенства всех сумм по диагоналям не следует свойство квадрата Стенли:
Код:
x1+x12=x2+x11, x2+x13=x3+x12
и т.д.
Значит, надо писать и все эти уравнения.
Если писать программу в лоб по представленной конфигурации, то будет 14 свободныx переменных: x1,x2,x3,...,x10,x11,x21,x31,x41.
Интересно, что даст решение системы уравнений. Но её ещё надо полностью составить.
в нормированном базисе будут целыми, как я понимаю.
![$\[
c_0 b_0 + \sum\limits_{i = 1}^4 {c_i b_i }
\]
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/7/d870ec5eced8948e182706dae7b0eab582.png "$\[
c_0 b_0 + \sum\limits_{i = 1}^4 {c_i b_i }
\]
$")
, где ![$\[
c_0 b_0
\]
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/f/51f827c233412262fe587a7cd0e1d1e782.png "$\[
c_0 b_0
\]
$")
- квадрат с одинаковыми элементами и один и тот же для этого множества.![$\[
\sum\limits_{i = 1}^4 {c_i b_i }
\]
$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/0/a2028f2361ada8548c811ddefedb2d0482.png "$\[
\sum\limits_{i = 1}^4 {c_i b_i }
\]
$")
представляет пространство квадратов с нулевой суммой и базисом 
и достроила его до ассоциативного квадрата Стенли 9-го порядка:
.
.