Вопросы про открытое подмножество.

[dj100500]

Смотрел лекцию по анализу, там было дано такое определение:

Открытым подмножеством U в R называется такое подмножество U, что:
$\forall a \in U : \exists \varepsilon > 0 : U_{\varepsilon}(a) \subset U U_{\varepsilon}(a)= \left \{ x: |x - a| < \varepsilon \right \}$

Вопрос такой, берем из отрезка U крайнию точку, и получаем что ёё окресность уже не входит в U, т.е. получаем, что открытого подмножества по определению не может существовать(в R по крайней мере).

[Oleg Zubelevich]

а с чего вы взяли, что $U$ это отрезок

[dj100500]

Я тоже думал, что это не обязательно отрезок, но на R это может быть разве что множеством отрезков или точек, и там можно также взять крайнию точку.
Если не трудно приведите пример открытого подмножества на R, кроме пустого множ и всего R.

[cool.phenon]

К примеру, интервал $(0;1)$ является открытым подмножеством интервала $(-1;2)$.

[dj100500]

Тоесть в моих обозначениях $U \in (0;1)$, но тогда окр. точки 0 например не входит в U, мне кажется я что-то совсем не так понимаю..

[ИСН]

Ваших обозначений изобретать не надо. Пользуйтесь общечеловеческими: $U=(0;\,1)$. Что здесь не так? Да, окрестность точки 0 не входит в U. А что, должна? Почему, зачем?

[dj100500]

Тык из определения же, что каждая точка открытого подмножества входит в него со своей окресностью.

[ИСН]

Ну, да. Но что значит (0;1)? Что туда входит?

[dj100500]

Ой с нулем я лопухнулся, но что же у этого отрезка крайней точки нет?

[Dan B-Yallay]

dj100500 в сообщении #753531 писал(а):

Ой с нулем я лопухнулся, но что же у этого отрезка крайней точки нет?

У какого отрезка?

[dj100500]

Снова извиняюсь: интервала (0;1)

[ИСН]

Ну а какие ещё варианты? Точка 0? Она не его. Точка 0.1? Она не крайняя. И даже 0.05 ещё не крайняя, и т.д.
Да, крайней нет.

[dj100500]

Спасибо понял, а не подскажите еще ключевые слова для поиска доказательства(хотя по идее факт очевидный)?

[Aritaborian]

ИСН, а термин «крайняя точка» он из чьей школы?

[JMH]

Aritaborian в сообщении #753549 писал(а):

ИСН, а термин «крайняя точка» он из чьей школы?

Термин стандартный - множество крайних точек или край множетсва - это пересечение замыкания множества с замыканием его дополнения.
Меня интересует другая сторона вопроса: верно ли методически вводить такие понятия, как открытые множества, пользуясь метрикой? Ведь её, метрики, может и не быть...