6 точек на окружности

[Dave]

(Предисловие)

Эта задача возникла у меня в процессе решения 6-й задачи 54-й Международной Олимпиады.

На окружности расположены 6 различных точек $A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3$. Известно, что треугольники $A_1A_2A_3$ и $B_1B_2B_3$ имеют разную ориентацию (один обходится по часовой стрелке, другой - против часовой). Докажите, что существуют такие два индекса $i \ne j$, что хорды $A_iB_j$ и $A_jB_i$ пересекаются.

(Послесловие)

Постарайтесь решить её элегантно, без перебора вариантов.

[TOTAL]

Ася совершает переход по дуге от $A_1$ до $A_2$, а Вася от $B_1$ до $B_2$. Если они не встретились, то искомые индексы - это $1, 2.$ Затем Ася совершает переход по дуге от $A_2$ до $A_3$, а Вася от $B_2$ до $B_3$. И т.д. Когда каждый из них совершит полный оборот по окружности и вернется в свою точку старта, то окажется, что по крайней мере на одном из трех переходов они не встречались (ведь всего было ровно 2 встречи).

[Dave]

TOTAL в сообщении #751744 писал(а):

ведь всего было ровно 2 встречи

Справедливо, но не очевидно!

А вот моё решение. Длинноватое, зато полностью алгебраическое. Надеюсь, где-нибудь впоследствии эта мини-теория пригодится. А то у меня до сих пор после тех кручений в 6-й задаче IMO голова кружится

Не ограничивая общности, можно считать, что рассматриваются только точки на некоторой окружности единичного радиуса. Пусть для любых двух точек $X$ и $Y$: $\langle XY \rangle$ - длина дуги, проходимой при переходе от $X$ до $Y$ при движении по часовой стрелке. Пусть для любых трёх различных точек $X$, $Y$ и $Z$: $\{XYZ\}=1$, если треугольник $XYZ$ обходится по часовой стрелке и $\{XYZ\}=2$ - если против часовой. Тогда

$$\{XYZ\}=\frac 1 {2 \pi} \, \bigl(\langle XY \rangle + \langle YZ \rangle +\langle ZX \rangle \bigr). \eqno(1)$$

Пусть для любых четырёх различных точек $X$, $Y$, $Z$ и $W$: $[XYZW]=0$, если хорды $XW$ и $YZ$ не пересекаются, т.е. точки $X$ и $W$ лежат по одну сторону от прямой $YZ$ и $[XYZW]=1$ в противном случае. Тогда

$$[XYZW]=\bigl|\{XZY\}-\{ZYW\}\bigr|=\frac 1 {2 \pi} \, \Bigl| \bigl( \langle XZ \rangle + \langle ZY \rangle + \langle YX \rangle \bigr) - \bigl( \langle ZY \rangle + \langle YW \rangle + \langle WZ \rangle \bigr) \Bigr|=$$

$$=\frac 1 {2 \pi} \, \bigl| \langle XZ \rangle + \langle YX \rangle - \langle YW \rangle - \langle WZ \rangle \bigr|. \eqno(2)$$

Если мы предположим, что $[A_1,B_1,A_2,B_2]=[A_2,B_2,A_3,B_3]=[A_3,B_3,A_1,B_1]=0$, то из $(2)$ следует, что

$$\langle A_1A_2 \rangle + \langle B_1A_1 \rangle = \langle B_1B_2 \rangle + \langle B_2A_2 \rangle,$$

$$\langle A_2A_3 \rangle + \langle B_2A_2 \rangle = \langle B_2B_3 \rangle + \langle B_3A_3 \rangle,$$

$$\langle A_3A_1 \rangle + \langle B_3A_3 \rangle = \langle B_3B_1 \rangle + \langle B_1A_1 \rangle.$$

Складывая, сокращая правые слагаемые в каждой из трёх исходных формул и используя $(1)$, получаем: $\{A_1A_2A_3\}=\{B_1B_2B_3\}$ - противоречие.

[Shadow]

Dave в сообщении #751543 писал(а):

Постарайтесь решить её элегантно, без перебора вариантов.

Ну, вариантов-то всего два.
1. Точки А и В не чередуются. Пусть $A_1,A_2$ - соседние точки (по часовой стрелке). Тогда расположение точек В (по часовой стрелке) должно быть $B_1,B_3,B_2$
И точку $A_3$ негде поставить (хорды $A_1B_3 \text{ и }A_2B_3$ отрезают все возможности).
2. Точки А и В чередуются. Ставим точек $A_1, A_2, A_3$ по часовой стрелке, между $A_1 \text { и } A_2$ пробуем поставить $B_1$, потом $B_2$...из-за ориентации все однозначно определяется, даже неудобно как-то.

[TOTAL]

Dave в сообщении #752380 писал(а):

TOTAL в сообщении #751744 писал(а):

ведь всего было ровно 2 встречи

Справедливо, но не очевидно!

Очевидно. Если каждый сделал полный оборот, то общий расход бензина - ровно на два оборота.
От встречи до встречи общий расход бензина - ровно на один оборот. Так что ровно две встречи.

[Dave]

Shadow в сообщении #752411 писал(а):

между $A_1 \text { и } A_2$ пробуем поставить $B_1$

А почему не $B_2$ или $B_3$? Индексы в разных группах ($A$ и $B$) зависимы и их нельзя циклически сдвигать только в одной группе, поэтому нельзя сказать что-то типа: "Не ограничивая общности, можно утверждать, что между $A_1 \text { и } A_2$ лежит $B_1$". А значит опять нужно перебирать варианты...

TOTAL в сообщении #752454 писал(а):

Dave в сообщении #752380 писал(а):

TOTAL в сообщении #751744 писал(а):

ведь всего было ровно 2 встречи

Справедливо, но не очевидно!

Очевидно. Если каждый сделал полный оборот, то общий расход бензина - ровно на два оборота.
От встречи до встречи общий расход бензина - ровно на один оборот. Так что ровно две встречи.

Теперь очевидно .

[Shadow]

Dave в сообщении #753111 писал(а):

Shadow в сообщении #752411 писал(а):

между $A_1 \text { и } A_2$ пробуем поставить $B_1$

А почему не $B_2$ или $B_3$?

Потому что цитата неполная

Shadow в сообщении #752411 писал(а):

между $A_1 \text { и } A_2$ пробуем поставить $B_1$, потом $B_2$...

с тремя точками обязательно.

Dave в сообщении #753111 писал(а):

А значит опять нужно перебирать варианты...

Так я его почти сделал, правда, надо сказать и что с чем пересекается.
Ладно, это "стандартное" решение, включающее неполный, но все таки перебор. Написаль только для полноты.

-- 08.08.2013, 09:28 --

Ясно, Вы меня неправильно поняли. Когда писал "потом $B_2$" имел ввиду $B_2$ между $A_1,A_2$ - другая конфигурация.