Ортогональность и симметричность линейного преобразования

[zychnyy]

Линейное преобразование $\mathcal{A}$ пространства $\mathbb{R}^2$ задано в базисе $e_1=(5,5),\ e_2=(10,0)$ матрицей $A=\left( \begin{array}{cc} -0,2 & 1,6 \\ -0,8 & 1,4 \end{array} \right)$. Является ли $\mathcal{A}$ ортогональным? Симметрическим?

(Оффтоп)

Заблудился в 2-х соснах.

-- 07.08.2013, 14:08 --

С вопросами нет вопросов . А вот нужно ли переходить к базису $i,j?$ Что делать с первой частью задания?

[alcoholist]

zychnyy в сообщении #752800 писал(а):

А вот нужно ли переходить к базису $i,j?$

Не надо. Ортогональность равносильна двум равенствам $|Ae_i|=|e_i|$, симметричность равносильна двум равенствам $(Ae_i,e_j)=(Ae_j,e_i)$

[ewert]

alcoholist в сообщении #752911 писал(а):

Ортогональность равносильна двум равенствам $|Ae_i|=|e_i|$,

Нет, конечно; Вы перепутали с тождеством $|Au|\equiv|u|$. А равносильна она трём равенствам $(Ae_i,Ae_j)=(e_i,e_j)$.

[zychnyy]

alcoholist хорошо. Привожу дословный ответ к задаче:
$\mathcal{A}$ ортогонально, так как ${A}_{\vec i,\vec j}=\left( \begin{array}{cc} 0,6 & -0,8 \\ 0,8 & 0,6 \end{array} \right)$ - ортогональная матрица. Симметрическим не является.
Откуда взялась эта матрица? Я не могу на нее "выйти".

[TOTAL]

zychnyy в сообщении #752952 писал(а):

alcoholist хорошо. Привожу дословный ответ к задаче:
$\mathcal{A}$ ортогонально, так как ${A}_{\vec i,\vec j}=\left( \begin{array}{cc} 0,6 & -0,8 \\ 0,8 & 0,6 \end{array} \right)$ - ортогональная матрица. Симметрическим не является.
Откуда взялась эта матрица? Я не могу на нее "выйти".

М.б. это матрица преобразования в базисе $(1, 0), \;\; (0, 1)$?

[zychnyy]

TOTAL я это понимаю, но у меня такой не получается. Вроде все по технологии делаю...

[ewert]

TOTAL в сообщении #752960 писал(а):

М.б. это матрица преобразования в базисе $(1, 0), \;\; (0, 1)$?

По логике ответа она должна быть именно той матрицей. Но она ею точно не является. Считать лень, но действие исходной матрицы на вектор $e_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ (в новых координатах) даёт $\begin{pmatrix}-0.2\\-0.8\end{pmatrix}$ в новых координатах и, соответственно, $\begin{pmatrix}-9\\-1\end{pmatrix}$ в старых. О какой тогда ортогональности может идти речь?...

[zychnyy]

ewert т.е. в ответе опечатка? Тогда ни ортогональности, ни симметричности в помине нет. У меня получилось, что ${A}_{\vec i,\vec j}=\left( \begin{array}{cc} \frac{11}{5} & -4 \\ \frac{4}{5} & -1 \end{array} \right)$.

[TOTAL]

zychnyy в сообщении #752983 писал(а):

т.е. в ответе опечатка?

Или в условии опечатка.

[zychnyy]

alcoholist,ewert,TOTAL ну, спасибо. Теперь хоть все на свои места встало.