Поворот радиус-вектора на комплексной плоскости

[cool.phenon]

Здравствуйте. Прошу проверить на правильность решение задачи: сколько раз совершает поворот вокруг нуля радиус-вектор точки $z^{2013}+2z+1$, если $z$ проходит 1 раз по единичной окружности?

Размышлял так: функцию $z^{2013}+2z+1$ можно заменить вектор-функцией $(\cos(2013z)+2\cos(z)+1;\sin(2013z)+2\sin(z))$ и теперь можно находить число поворотов радиус-вектора этой функции. За 1 период $2\pi$ как первая координата, так и вторая координата совершают полный период, так как периоды первой и второй координат равны и составляют $2\pi$, поэтому радиус-вектор совершает 1 оборот. Верны ли размышления?

[ИСН]

В пору моего детства продавалась такая игрушка - спирограф. Такие зубчатые колёса катаются вокруг друг друга по листу бумаги, и при этом чертят красивые кривые. Вот с тех пор я помню, что в периоде запросто может быть не один, а сколько угодно оборотов.

[cool.phenon]

Это понятно. Для достоверности сделал эксперимент в MATLAB. Получился 1 полный оборот. Я считал, что число оборотов -- это наименьший общий период для компонентов вектор-функции. Если бы было не $2\sin z,2\cos z,$а, например, под аргументом стояло $4026z$, то ответ был бы 2013, верно?

[ИСН]

Не совсем. Ваша вектор-функция могла бы плясать где-то в другом месте и вообще никогда не делать оборотов вокруг нуля.

-- менее минуты назад --

(при этом имея какой угодно период)

[cool.phenon]

Спасибо. Я так понимаю, что мой способ -- эвристический, и работает не всегда. Подскажите, каким методом нужно пользоваться в общем случае для таких задач?

[ИСН]

А нету общего. Смотреть, думать, строить графики. Вот сопоставьте, например, $10z^{10}+z$ и $z^{10}+10z$; период одинаковый, а кто из них сделает больше оборотов?

[Someone]

Число оборотов равно числу нулей внутри контура, который Вы обходите, с учётом кратностей. При условии, что на самом контуре нулей нет.

[ИСН]

О как!

[Someone]

Это в ТФКП называется "принцип аргумента". Надо попытаться использовать теорему Руше.

Как я понимаю, cool.phenon как раз ТФКП изучает.

[ewert]

Конечно, это Руше, но не буквально Руше. Надо всё-таки (помимо кое-каких дополнительных заклинаний) ещё доказать, что на самой окружности и впрямь нет корней. Это следует, например, из того, что в корне должно было бы выполняться $|z^n+2z|=1\ \Rightarrow\ |z^{n-1}+2|=1\ \Rightarrow\ z^{n-1}=-1$, что противоречит исходному $z^n+2z+1=0$ (при нечётном $n$, разумеется).

(ну или так: $|z^n+1|=|2z|\ \Rightarrow\ |z^n+1|=2\ \Rightarrow\ z^n=1$)

[cool.phenon]

Someone
Теперь мне стало яснее. Достаточно посчитать

$$\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\left|z\right|=1}\frac{f'(z)}{f(z)}dz $$

c учётом того, что внутри нет полюсов и

Цитата:

что на самой окружности и впрямь нет корней

[ewert]

cool.phenon в сообщении #752407 писал(а):

Достаточно посчитать

$$\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\left|z\right|=1}\frac{f'(z)}{f(z)}dz $$

В конце концов да, всё восходит к этому. Но ссылаться надо всё-таки на уже готовые принцип аргумента и теорему Руше, задачка рассчитана именно на них.

[cool.phenon]

Возник вопрос: а теорема Руше здесь применима?
Берём $f(z)=z^{2013}+1$; $g(z)=2z$. На границе $|z|=1$ равенство выполняется $|f(z)|=|g(z)|$, если $z=1$.
Берём $f(z)=z^{2013}+2z$; $g(z)=1$. На границе $|z|=1$ равенство выполняется $|f(z)|=|g(z)|$, если $z$-корень уравнения $z^{2013}=-1$.
Берём $f(z)=z^{2013}$; $g(z)=2z+1$. На границе $|z|=1$ равенство выполняется $|f(z)|=|g(z)|$, если $z=-1$.

[ewert]

cool.phenon в сообщении #752430 писал(а):

а теорема Руше здесь применима?

Формально -- неприменима, почему я и говорил о необходимости дополнительных телодвижений. Возможны как минимум два варианта.

1) (естественный и не требующий никакого счёта, но для формализации несколько занудный). Если двоечку чуть-чуть увеличить, то условия теоремы Руше выполнятся. А поскольку корни многочлена непрерывно зависят от его коэффициентов -- и для в точности двойки строго внутри круга будет тоже только один корень.

2) (формально проще, но придётся чуть-чуть поковыряться в арифметике). Доказать, что условия теоремы Руше выполняются для любого круга радиуса $r<1$ при условии, что этот радиус достаточно близок к единице. Для этого надо доказать, что неравенство $r^n+1<2r$ справедливо в некоторой левосторонней окрестности единицы. Это действительно придётся доказывать, но это и элементарно.

[cool.phenon]

Но это же покажет количество корней в некоторой окрестности $|z|<1-\varepsilon$. Кстати, за утро МАТЛАБ посчитал количество корней уравнения. Из них только $58$ лежат за единичной окружностью. Как Вы думаете, это сойдёт за ответ?