Международная математическая олимпиада для студентов университетов
Благоевград, Болгария
3-9 августа 2007
День 1
1. Пусть

- квадратный трехчлен с целыми коэффициентами. Предположим, что

делится на 5 для любого целого

. Доказать, что все коэффициенты

делятся на 5.
2. Пусть

- целое число. Какие наименьший и наибольший ранги возможны у матрицы

, чьими

элементами являются в точности числа

?
3. Назовем многочлен
хорошим, если существуют такие вещественные матрицы

размера

, что
Найти все значения

, для которых все однородные многочлены степени 2 от

переменных являются хорошими. (Многочлен называется однородным, если каждый член имеет одну и ту же суммарную степень.)
4. Пусть

- конечная группа. Для произвольных множеств

обозначим через

количество троек

, для которых

является единицей. Предположим, что

разбита на три множества

,

и

(т.е. множества

попарно не пересекаются и

). Доказать, что
5. Пусть

- натуральное число, а

- целые. Предположим, что функция

удовлетворяет

для любых целых

и

, таких, что

. Доказать, что

.
6. Сколько ненулевых коэффициентов может быть у многочлена

, если его коэффициенты целые и

для всех комплексных чисел

единичной длины?
День 2
1. Пусть

- непрерывная функция. Предположим, что для любого

график

можно передвинуть в график

, используя лишь параллельные переносы и вращения. Следует ли отсюда, что

для некоторых вещественных чисел

и

?
2. Пусть

,

и

- такие целые числа, что

делится на 29. Показать, что

делится на

.
3. Пусть

- непустое замкнутое ограниченное подмножество вещественной оси и

- неубывающая непрерывная функция. Показать, что найдется такая точка

, что

.
(Множество замкнуто, если его дополнение является объединением открытых интервалов. Функция

не убывает, если

для всех

.)
4. Пусть

- нечетное натуральное число и

- матрица

с элементами
Найти

.
5. Для каждого натурального

найти наименьшее число

, для которого существуют такие вещественные матрицы

размера

, что выполнены все следующие условия:
(1)

,
(2)

для всех
и
(3)

.
6. Пусть

- многочлен с вещественными коэффициентами. Определим последовательность

многочленов:

и

для всех

. Доказать, что найдется такое число

, что для всех

все корни

вещественны.
http://www.imc-math.org.uk/
http://www.mathlinks.ro/Forum/index.php?f=79
Результаты (индивидуальный зачет) приаттачил здесь:
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic ... 541#907541
Топ командного зачета (один из вариантов - лучшие три результата в команде плюс среднее остальных):
1 - Будапештский университет
2 - МГУ
3 - Шарифский технологический университет (Иран)
4 - Принстонский университет
5 - Варшавский университет
6 - Киевский национальный университет им. Т.Шевченко
Добавлено спустя 1 час 54 минуты 36 секунд:
Результаты команды Московского университета:
No Name University 1 2 3 4 5 6
S1 1 2 3 4 5 6
S2 S1+S2 Prize
1 Alexander Efimov Moscow State University 20 20 20 20 20 20
120 20 20 20 20 20 3
103 223 Grand First
8 Vasily Astakhov Moscow State University 20 20 20 20 0 15
95 20 20 18 12 20 2
92 187 First Prize
12 Dmitry Baranov Moscow State University 18 20 20 20 15 1
94 20 20 20 0 20 0
80 174 First Prize
13 Aleksandr Perepechko Moscow State University 20 20 18 20 0 1
79 20 16 20 18 20 0
94 173 First Prize
30-31 Sergey Smirnov Moscow State University 20 20 0 20 0 1
61 20 17 20 0 20 2
79 140 First Prize
Результаты команды Киевского университета:
No Name University 1 2 3 4 5 6
S1 1 2 3 4 5 6
S2 S1+S2 Prize
22-23 Ivan Feschenko Kyiv Taras Shevchenko University 20 18 18 18 10 7
91 20 19 20 0 0 2
61 152 First Prize
25-26 Iaroslav Zhurba Kyiv Taras Shevchenko University 20 19 20 0 0 0
59 20 20 20 3 20 0
83 142 First Prize
27-29 Oleksandr Kravets Kyiv Taras Shevchenko University 20 20 20 0 1 0
61 20 20 20 0 20 0
80 141 First Prize
32-33 Ivan Iurchenko Kyiv Taras Shevchenko University 20 17 20 20 0 0
77 20 20 20 0 0 2
62 139 First Prize
38-39 Sergii Slobodianiuk Kyiv Taras Shevchenko University 20 10 10 15 0 0
55 20 20 20 17 0 0
77 132 First Prize
60 Larisa Homenko Kyiv Taras Shevchenko University 20 20 20 0 0 2
62 0 17 20 10 0 0
47 109 Second Prize
79-80 Ivan Livinskii Kyiv Taras Shevchenko University 20 15 4 0 0 0
39 20 20 20 0 0 1
61 100 Second Prize
118-121 Taras Tymoshkevych Kyiv Taras Shevchenko University 20 20 0 1 0 0
41 0 0 20 20 0 1
41 82 Third Prize