Задача по механике

[fiztech]

Добрый вечер.

Колобок, имеющий форму шара, застигнут дождём в точке $A$ . Капли дождя имеют вертикальную скорость, равную $V$ , а горизонтальную — равную $v$ и направленную под углом $\phi$ к направлению $AB$ (в точке $B$ находится дом Колобка). С какой скоростью Колобок должен бежать по линии , чтобы как можно меньше промокнуть?



Посмотрел решение и там написано :

$v_\text{отн} = \sqrt{ V^{2} + v^{2} + u^{2} -2uv \cos\varphi}$ , где $u$ - скорость колобка.

Я знаком с правилом сложения скоростей, когда даны две скорости , но тут мне не очень понятно как они нашли относительную скорость.

Может кто нибудь помочь ?

[svv]

Вы не поверите, но они её нашли как обычно, то есть вычли два вектора. Потом нашли длину этой разности.

fiztech в сообщении #751893 писал(а):

Капли дождя имеют вертикальную скорость, равную $V$ , а горизонтальную — равную $v$ и направленную под углом $\varphi$ к направлению $AB$.

Если направить ось $x$ по $AB$, а ось $z$ вверх, то из сказанного получается, что
$\mathbf v_{\text{дождика}}=\mathbf e_x v\cos\varphi + \mathbf e_y v\sin\varphi - \mathbf e_z V$
Колобок бежит по линии $AB$ со скоростью $u$:
$\mathbf v_{\text{Колобка}}=\mathbf e_x u$
Разность этих векторов будет скоростью дождика относительно Колобка:
$\mathbf v_{\text{отн}}=\mathbf e_x (v\cos\varphi-u) + \mathbf e_y v\sin\varphi - \mathbf e_z V$
Его длина:
$v_{\text{отн}}=\sqrt{(v\cos\varphi-u)^2+(v\sin\varphi)^2+(-V)^2}=$ то, что надо.

[fiztech]

svv

А где можно посмотреть поподробнее о том, что Вы написали. Не очень хорошо тему "векторы" знаю. Что такое $e_x$ , $e_y$ ? Откуда берется первое равенство и почему в последнем у Вас все возведено в квадрат ?

[nikvic]

fiztech в сообщении #751893 писал(а):

С какой скоростью Колобок должен бежать по линии , чтобы как можно меньше промокнуть?

Коварный вопрос. "Промокнуть" зависит и от времени, а здесь предполагается минимимизировать интенсивность относительного дождя

[Munin]

fiztech в сообщении #752269 писал(а):

Что такое $e_x$ , $e_y$ ?

Вы их можете знать под именами $\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}.$ Обозначения $\vec{e}_i$ просто более общие, годятся для любого числа измерений. $e$ от слова "единица" (как-то странно, слово русское, а обозначение единицы как "e" международное).

И у меня к вам одна просьба: называйте свои темы по-разному, а то у вас уже три "Задачи по механике". Хотя бы "Задача по механике: Колобок", что ли.

[fiztech]

Цитата:

$\mathbf v_{\text{дождика}}=\mathbf e_x v\cos\varphi + \mathbf e_y v\sin\varphi - \mathbf e_z V$

Откуда это равенство взялось я не пойму. Здесь надо сделать рисунок или это очевидно для всех , кроме меня ? )

[svv]

Рисунок у Вас уже есть.
Ось $x$ направлена вдоль AB, поэтому проекция вектора скорости дождя на эту ось равна $v\cos\varphi$.
Ось $y$ направлена перпендикулярно к ней (горизонтально, на экране это — направление вверх), проекция вектора скорости дождя на эту ось равна $v\sin\varphi$.
Ост $z$ направлена вертикально вверх. Проекция скорости дождя на неё $-V$. (Можно было направить её и вниз, дело вкуса, тогда бы проекция была $V$).

Векторы Вы точно изучали. Если нужно записать, что компоненты вектора $\mathbf v$ (или, может, $\vec v$) равны $v_x, v_y, v_z$, это в привычных Вам обозначениях как будет?

Встречается, например, такой вариант:
$\mathbf v_{\text{дождика}}=(v\cos\varphi, v\sin\varphi, -V)$

Вот так совсем плохо и неудобно:
$(\mathbf v_{\text{дождика}})_x=v\cos\varphi$
$(\mathbf v_{\text{дождика}})_y=v\sin\varphi$
$(\mathbf v_{\text{дождика}})_z=-V$

-- Пн авг 05, 2013 18:11:32 --

nikvic

nikvic в сообщении #752272 писал(а):

Коварный вопрос. "Промокнуть" зависит и от времени, а здесь предполагается минимимизировать интенсивность относительного дождя

Вы любите переходить из одной системы отсчёта в другую. Так вот, минимизировать промокание — это минимизировать длину пути в системе отсчета дождя: капли дождя неподвижны, а Колобок движется и собирает на себе количество капель, пропорциональное этому пути.

[nikvic]

svv в сообщении #752284 писал(а):

минимизировать промокание — это минимизировать длину пути в системе отсчета дождя: капли дождя неподвижны, а Колобок движется и собирает на себе количество капель, пропорциональное этому пути.

Очевидно, что путь в СОД минимален при бесконечной скорости

[svv]

Нет.
Представьте для простоты, что скорость дождя имеет только компоненту $x$. Тогда, двигаясь бесконечно быстро, Колобок соберёт все капли от леса до дома, бывшие в этот момент на пути. Но если он будет двигаться ровно со скоростью дождя, он соберёт гораздо меньше (нуль). Дождь просто не будет двигаться относительно него. Будет Колобок двигаться слишком медленно, так, что дождь будет его догонять — опять промокнет. В этом прелесть задачи — есть оптимум.

[nikvic]

svv в сообщении #752289 писал(а):

Нет.

fiztech в сообщении #751893 писал(а):

Может кто нибудь помочь ?

Вам будет легче, если "перейти в плоскость". Скорость дождя представьте как попутную (понадобится косинус) и поперечную - понадобится вертикальная и синус.
Затем можно представить, что дождь "стоит", а избушка движется - и колобку предстоит перехватить её по кратчайшему пути...

[Munin]

nikvic в сообщении #752288 писал(а):

Очевидно, что путь в СОД минимален при бесконечной скорости

Только если дождь падает по вертикали, при нулевой горизонтальной скорости.

[nikvic]

Munin в сообщении #752339 писал(а):

Только если дождь падает по вертикали, при нулевой горизонтальной скорости.

Не совсем так.
Условием, когда "чем быстрее, тем суше" является неположительность попутной проекции скорости дождя.

Это сразу ясно, если от Колобка под дождём перейти к Ёжику в тумане (гонится за лошадью)

[Munin]

nikvic в сообщении #752432 писал(а):

Условием, когда "чем быстрее, тем суше" является неположительность попутной проекции скорости дождя.

Да, потому что назад во времени двигаться нельзя.

[fiztech]

svv

Все ясно , спасибо. Не знал о существовании формулы $|\vec a| = \sqrt{a_x^{2} + a_y^{2} + a_z^{2} $

[nikvic]

(Оффтоп)

Боже, вот кому можно рассказывать старые анекдоты!