Вычислить предел

[Ktina]

Вычислить предел:

$$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\tg(\tg (x))-\sin(\sin (x))}{\tg (x)-\sin (x)}$$

Почему не срабатывает замена бесконечно малых эквивалентными?
Казалось бы, заменив $\tg (x)$ и $\sin (x)$ на $x$, мы должны были бы получить

$$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\tg(\tg (x))-\sin(\sin (x))}{\tg (x)-\sin (x)}=\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\tg (x)-\sin (x)}{\tg (x)-\sin (x)}=1$$

Однако, ответ равен не 1, а 2.
Почему?

[gris]

Вероятно, дело в недостаточности степени эквивалентности. У Вас она первая, а первые степени сокращаются. Тут третья степень нужна. А при ней синус не эквивалентен тангенсу.

[nnosipov]

Ktina в сообщении #751675 писал(а):

Почему не срабатывает замена бесконечно малых эквивалентными?

Вы же их вычитаете. Вот если бы делили, всё было бы окей.

[Ktina]

gris,
nnosipov,
И как тогда считать?

[nnosipov]

Ktina в сообщении #751679 писал(а):

И как тогда считать?

Как обычно --- брать соответствующий кусок тейлоровского разложения.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #751680 писал(а):

Ktina в сообщении #751679 писал(а):

И как тогда считать?

Как обычно --- брать соответствующий кусок тейлоровского разложения.

Всё-таки, я не понимаю. В учебнике написано, что при $x\to 0$ выполняется $\sin (x)\sim x$ и $\tg (x)\sim x$. Так какая разница, вычитаю я или делю?

[nnosipov]

Ktina в сообщении #751681 писал(а):

Так какая разница, вычитаю я или делю?

А в определении эквивалентности какая операция участвует? Вот поэтому и разница.

[iifat]

Именно потому, что эквивалентность — не панацея. У меня как-то всегда прям дух захватывает, как лихо этим обычно пользуются... В данном конкретном случае два нуля в числителе и знаменателе, которые сокращаются, должны насторожить.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #751682 писал(а):

Ktina в сообщении #751681 писал(а):

Так какая разница, вычитаю я или делю?

А в определении эквивалентности какая операция участвует? Вот поэтому и разница.

Вы согласны со мной, что $\sin (\sin (x))\sim \sin (x)$ и $\tg (\tg (x))\sim \tg (x)$ при $x\to 0$ ?

-- 04.08.2013, 10:29 --

iifat в сообщении #751684 писал(а):

Именно потому, что эквивалентность — не панацея. У меня как-то всегда прям дух захватывает, как лихо этим обычно пользуются... В данном конкретном случае два нуля в числителе и знаменателе, которые сокращаются, должны насторожить.

Насторожили! Поэтому и проверила на Альфе.

[nnosipov]

Ktina в сообщении #751685 писал(а):

Вы согласны со мной, что $\sin (\sin (x))\sim \sin (x)$ и $\tg (\tg (x))\sim \tg (x)$ при $x\to 0$ ?

Согласен. И что дальше? Ведь эквивалентность --- это не равенство, и не всё, что можно делать с равенствами, можно делать и с эквивалентностями.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #751686 писал(а):

Ktina в сообщении #751685 писал(а):

Вы согласны со мной, что $\sin (\sin (x))\sim \sin (x)$ и $\tg (\tg (x))\sim \tg (x)$ при $x\to 0$ ?

Согласен. И что дальше? Ведь эквивалентность --- это не равенство, и не всё, что можно делать с равенствами, можно делать и с эквивалентностями.

А как отличить ситуацию, в которой можно применять замену бесконечно малых эквивалентными при вычислении пределов, от той, в которой нельзя?

[ИСН]

Поставим вопрос проще: $\lim\limits_{x\to 0} {\sin x-x\over x^3}=?$
Эквивалентно? Заменить? Ноль будет? Э нееееет...

-- менее минуты назад --

Ktina в сообщении #751687 писал(а):

А как отличить ситуацию, в которой можно

Вообще не скажу, а в Вашем примере просто: применим все эквивалентности до упора, окажется сверху 0 и снизу 0. Неопределённость. Значит, так нельзя. Значит, надо было смотреть точнее.

[Ktina]

ИСН в сообщении #751688 писал(а):

Поставим вопрос проще: $\lim\limits_{x\to 0} {\sin x-x\over x^3}=?$
Эквивалентно? Заменить? Ноль будет? Э нееееет...

У меня получается нуль, но Альфа даёт $-\dfrac{1}{6}$, почему-то.

[ИСН]

Апатамушта надо всегда писать эквивалентности вместе с их о-малыми ($\sin x=x+o(x^2)$, например). Чтобы помнить, какого размера фигню мы отбросили. И если всё посокращалось, кроме этой фигни - приходится идти назад и разбираться с ней.

[Ktina]

ИСН в сообщении #751694 писал(а):

Апатамушта надо всегда писать эквивалентности вместе с их о-малыми ($\sin x=x+o(x^2)$, например). Чтобы помнить, какого размера фигню мы отбросили. И если всё посокращалось, кроме этой фигни - приходится идти назад и разбираться с ней.

О! Кажется, начинаю понимать...
Спасибо!