Интегрирование по области пересечения эллипсов

medicscience · 14/06/13 2

Уважаемые форумчане подскажите выход в следующей проблеме, стоит задача интегрирования функции по области пересечения двух эллипсов. До этого решил данную задачу на области пересечения двух окружностей. Интегрировал в полярных координатах. Если $R_d$ , $R_s$ - радиусы окружностей, $d$ - расстояние между их центрами, начало координат в центре окружности с радиусом $R_d$ , тогда интеграл по области перекрытия окружностей я получил как: $I=\int_{\varphi_{\min}}^{\varphi_{\max}}\int_{\rho_{\min}}^{\rho_{\max}}E_e(\varphi,\rho)\rho d\rho d\varphi$ , где $\varphi_{\min}=-\arccos(\frac{{R_d}^2+d^2-{R_s}^2}{2 R_d d})$ , $\varphi_{\max}=\arccos(\frac{{R_d}^2+d^2-{R_s}^2}{2 R_d d})$ , $\rho_\min=\frac{\sqrt2}{2}\sqrt{2{R_s}^2+d^2\cos(2\varphi)-d^2}+d\cos(\varphi)$ , $\rho_{\max}=R_d$ . Далее потребовалось обобщить данный случай на пересечение эллипсов. Для начала записал выражение для произвольного эллипса в полярных координатах: $\rho(\theta,\rho_0,\theta_0,\varphi_0)=\frac{P+Q}{R}$ ,
где $\theta$ - полярный угол; $(\rho_0,\theta_0)$ - координаты центра эллипса, $\varphi_0$ - угол поворота эллипса относительно полярной оси (в моей задаче этот угол одинаков для обоих эллипсов),
$P=\rho_0((b^2-a^2)\cos(\theta+\theta_0-2\varphi_0)+(a^2+b^2)\cos(\theta-\theta_0))$ ,
$R=(b^2-a^2)\cos(2\theta-2\varphi_0)+a^2+b^2$ ,
$Q=\sqrt2ab\sqrt{R-2\rho_0^2\sin(\theta-\theta_0)^2}$ .
Пусть центр первого эллипса лежит в начале координат: функция его описывающая: $\rho(\theta,0,0,\varphi_0)$ , центр второго эллипса в точке $(\rho_0,\theta_0)$ , его функция : $\rho(\theta,\rho_0,\theta_0,\varphi_0)$ . Для нахождения пределов интегрирования по углу я нахожу точки пересечения эллипсов (к слову говоря, для этого пришлось перейти к квадратичной форме записи уравнений, находить корни в декартовых координатах, и затем переводить их в полярную систему - иначе не получалось.) Далее когда стал интегрировать в найденных пределах, то стала получаться ерунда.
Во-первых, указанная выше запись эллипса в полярных координатах в общем случае на области значений аргумента $[0,2\pi]$ имеет комплексные значения, которые появляются в результате интеграла. Во-вторых, найденные пределы интегрирования по углу справедливы только для эллипса с центром в начале координат, для второго эллипса это в общем случае не верно. Не могли бы подсказать, систему условий, следуя которой можно было бы корректно интегрировать по области пересечения моих эллипсов при любом $(\rho_0,\theta_0)$ .

Алексей К. · 29/09/06 4552

Я читал это уже лёжа, и в надежде на снотворность; эскизов не рисовал, формулы не анализировал. Но три мыслишки, тем не менее, возникли (третью дезавуирую).

1. Вы там в начале оперируте с двумя арккосинусами. Насколько я помню, арккосинусы были принципиально неотрицательными. Стало быть, у Вас один предел интегрирования $[-\arccos(\ldots)]$ непременно отрицателен, второй --- непременно положителен. А что, разве не может так быть, что пересечение двух окружностей описывается углами одного знака, скажем, 20 градусов, и 22 (близко к касанию). У Вас же это будет -20 и +22.

Вот, скажем, касаются эти окружности при $\varphi=21$ , и интергал Ваш от +21 до +21, скорее всего, нулю равен. Но если Вы интегрируете от -21 до +21, то...

-- 03 авг 2013, 01:01:07 --

2. Известно ли Вам, что параметризация эллипса с полюсом в центре не есть единственно возможная? Есть более простое выражение с полюсом полярной системы в фокусе эллипса (и любой другой коники), $r(\varphi)=\frac{p}{1+e\cos\varphi},$ пользующее фокальный параметр $p$ и эксцентриситет $e$ . Что может оказаться неким упрощением, а может и не оказаться.

Я всегда ненавидел эти разборки с кониками. Но обычно с честью и достоинством из них выкарабкивался. Того же и Вам желаю.

[Upd] 1а. Видимо, у Вас вторая окружность было уложена с центром на оси абсцисс, но вчера я об этом не подумал:

(О почерке)

Вот Вы там написали

medicscience в сообщении #751425 писал(а):

$\varphi_{\min}=-\arccos(\ldots)$ , $\varphi_{\max}=\arccos(\ldots)$

заставляя читателя старательно сравнивать две дроби. Я этого даже не проделывал среди ночи: дроби наверняка разные. Ан нет, оказывается, одинаковые аргументы у арккосинусов. Но хороший человек написал бы тогда как-то так: $\varphi_{\min}=-\varphi_{\max}$ , $\varphi_{\max}=\arccos(\ldots)$

Алексей К. · 29/09/06 4552

Что-то много неясностей.

medicscience в сообщении #751425 писал(а):

Для начала записал выражение для произвольного эллипса в полярных координатах: $\rho(\theta,\rho_0,\theta_0,\varphi_0)=\ldots$ ,

А где в этом списке параметров полуоси? Или они одинаковы у обоих эллипсов (что, по-моему, не сказано)?

medicscience в сообщении #751425 писал(а):

Во-первых, указанная выше запись эллипса в полярных координатах в общем случае на области значений аргумента $[0,2\pi]$ имеет комплексные значения

Если второй эллипс не содержит внутри себя начала координат (центра полярной системы), то он весь расположен в некотором секторе видимости $\theta_1\le\theta\le\theta_2$ , применение к нему полной области значений $[0,2\pi]$ (и, наверное, полярного описания вообще) неуместно.

-- 03 авг 2013, 11:38:28 --

medicscience в сообщении #751425 писал(а):

стоит задача интегрирования функции по области пересечения двух эллипсов.

Я бы начал с описания этой области. Может, у Вас они пересекаются гарантировано не более чем в двух точках (а могли бы и в четырёх пересечься... но там был какой-то намёк на параллельность осей, или даже именно больших осей). Тогда кандидатом на центр полярной системы (если потом она реально понадобится) будет средняя точка. Разборки с уравнением 4-й степени представляются неизбежными (хоть в полярной системе, хоть в декартовой, если только параллельность осей не поможет). Но городить остальное "формульное обеспечение" без этих разборок, по-моему, неразумно.

medicscience · 14/06/13 2

Алексей К. в сообщении #751444 писал(а):

Видимо, у Вас вторая окружность было уложена с центром на оси абсцисс,

Именно так я их и рассматривал. Приношу извинения за арккосинусы.