2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интегрирование по области пересечения эллипсов
Сообщение02.08.2013, 22:30 
Уважаемые форумчане подскажите выход в следующей проблеме, стоит задача интегрирования функции по области пересечения двух эллипсов. До этого решил данную задачу на области пересечения двух окружностей. Интегрировал в полярных координатах. Если $R_d$, $R_s$ - радиусы окружностей, $d$ - расстояние между их центрами, начало координат в центре окружности с радиусом $R_d$, тогда интеграл по области перекрытия окружностей я получил как: $I=\int_{\varphi_{\min}}^{\varphi_{\max}}\int_{\rho_{\min}}^{\rho_{\max}}E_e(\varphi,\rho)\rho d\rho d\varphi$, где $\varphi_{\min}=-\arccos(\frac{{R_d}^2+d^2-{R_s}^2}{2 R_d d})$, $\varphi_{\max}=\arccos(\frac{{R_d}^2+d^2-{R_s}^2}{2 R_d d})$, $\rho_\min=\frac{\sqrt2}{2}\sqrt{2{R_s}^2+d^2\cos(2\varphi)-d^2}+d\cos(\varphi)$, $\rho_{\max}=R_d$. Далее потребовалось обобщить данный случай на пересечение эллипсов. Для начала записал выражение для произвольного эллипса в полярных координатах: $\rho(\theta,\rho_0,\theta_0,\varphi_0)=\frac{P+Q}{R}$,
где $\theta$ - полярный угол; $(\rho_0,\theta_0)$ - координаты центра эллипса, $\varphi_0$ - угол поворота эллипса относительно полярной оси (в моей задаче этот угол одинаков для обоих эллипсов),
$P=\rho_0((b^2-a^2)\cos(\theta+\theta_0-2\varphi_0)+(a^2+b^2)\cos(\theta-\theta_0))$,
$R=(b^2-a^2)\cos(2\theta-2\varphi_0)+a^2+b^2$,
$Q=\sqrt2ab\sqrt{R-2\rho_0^2\sin(\theta-\theta_0)^2}$.
Пусть центр первого эллипса лежит в начале координат: функция его описывающая: $\rho(\theta,0,0,\varphi_0)$, центр второго эллипса в точке $(\rho_0,\theta_0)$, его функция : $\rho(\theta,\rho_0,\theta_0,\varphi_0)$. Для нахождения пределов интегрирования по углу я нахожу точки пересечения эллипсов (к слову говоря, для этого пришлось перейти к квадратичной форме записи уравнений, находить корни в декартовых координатах, и затем переводить их в полярную систему - иначе не получалось.) Далее когда стал интегрировать в найденных пределах, то стала получаться ерунда.
Во-первых, указанная выше запись эллипса в полярных координатах в общем случае на области значений аргумента $[0,2\pi]$ имеет комплексные значения, которые появляются в результате интеграла. Во-вторых, найденные пределы интегрирования по углу справедливы только для эллипса с центром в начале координат, для второго эллипса это в общем случае не верно. Не могли бы подсказать, систему условий, следуя которой можно было бы корректно интегрировать по области пересечения моих эллипсов при любом $(\rho_0,\theta_0)$.

 
 
 
 Re: Интегрирование по области пересечения эллипсов
Сообщение02.08.2013, 23:52 
Я читал это уже лёжа, и в надежде на снотворность; эскизов не рисовал, формулы не анализировал. Но три мыслишки, тем не менее, возникли (третью дезавуирую).

1. Вы там в начале оперируте с двумя арккосинусами. Насколько я помню, арккосинусы были принципиально неотрицательными. Стало быть, у Вас один предел интегрирования $[-\arccos(\ldots)]$ непременно отрицателен, второй --- непременно положителен. А что, разве не может так быть, что пересечение двух окружностей описывается углами одного знака, скажем, 20 градусов, и 22 (близко к касанию). У Вас же это будет -20 и +22.

Вот, скажем, касаются эти окружности при $\varphi=21$, и интергал Ваш от +21 до +21, скорее всего, нулю равен. Но если Вы интегрируете от -21 до +21, то...

-- 03 авг 2013, 01:01:07 --

2. Известно ли Вам, что параметризация эллипса с полюсом в центре не есть единственно возможная? Есть более простое выражение с полюсом полярной системы в фокусе эллипса (и любой другой коники), $$r(\varphi)=\frac{p}{1+e\cos\varphi},$$пользующее фокальный параметр $p$ и эксцентриситет $e$. Что может оказаться неким упрощением, а может и не оказаться.

Я всегда ненавидел эти разборки с кониками. Но обычно с честью и достоинством из них выкарабкивался. Того же и Вам желаю. :D

[Upd] 1а. Видимо, у Вас вторая окружность было уложена с центром на оси абсцисс, но вчера я об этом не подумал:

(О почерке)

Вот Вы там написали
medicscience в сообщении #751425 писал(а):
$\varphi_{\min}=-\arccos(\ldots)$, $\varphi_{\max}=\arccos(\ldots)$
заставляя читателя старательно сравнивать две дроби. Я этого даже не проделывал среди ночи: дроби наверняка разные. Ан нет, оказывается, одинаковые аргументы у арккосинусов. Но хороший человек написал бы тогда как-то так: $\varphi_{\min}=-\varphi_{\max}$, $\varphi_{\max}=\arccos(\ldots)$

 
 
 
 Re: Интегрирование по области пересечения эллипсов
Сообщение03.08.2013, 10:16 
Что-то много неясностей.
medicscience в сообщении #751425 писал(а):
Для начала записал выражение для произвольного эллипса в полярных координатах: $\rho(\theta,\rho_0,\theta_0,\varphi_0)=\ldots$,
А где в этом списке параметров полуоси? Или они одинаковы у обоих эллипсов (что, по-моему, не сказано)?
medicscience в сообщении #751425 писал(а):
Во-первых, указанная выше запись эллипса в полярных координатах в общем случае на области значений аргумента $[0,2\pi]$ имеет комплексные значения
Если второй эллипс не содержит внутри себя начала координат (центра полярной системы), то он весь расположен в некотором секторе видимости $\theta_1\le\theta\le\theta_2$, применение к нему полной области значений $[0,2\pi]$ (и, наверное, полярного описания вообще) неуместно.

-- 03 авг 2013, 11:38:28 --

medicscience в сообщении #751425 писал(а):
стоит задача интегрирования функции по области пересечения двух эллипсов.
Я бы начал с описания этой области. Может, у Вас они пересекаются гарантировано не более чем в двух точках (а могли бы и в четырёх пересечься... но там был какой-то намёк на параллельность осей, или даже именно больших осей). Тогда кандидатом на центр полярной системы (если потом она реально понадобится) будет средняя точка. Разборки с уравнением 4-й степени представляются неизбежными (хоть в полярной системе, хоть в декартовой, если только параллельность осей не поможет). Но городить остальное "формульное обеспечение" без этих разборок, по-моему, неразумно.

 
 
 
 Re: Интегрирование по области пересечения эллипсов
Сообщение04.08.2013, 00:07 
Алексей К. в сообщении #751444 писал(а):
Видимо, у Вас вторая окружность было уложена с центром на оси абсцисс,

Именно так я их и рассматривал. Приношу извинения за арккосинусы.
Алексей К. в сообщении #751474 писал(а):
А где в этом списке параметров полуоси? Или они одинаковы у обоих эллипсов (что, по-моему, не сказано)?


Я действительно я упустил эти величины в списке параметров :(, $a,b$ в общем случае у меня разные.

Алексей К. в сообщении #751474 писал(а):
Если второй эллипс не содержит внутри себя начала координат (центра полярной системы), то он весь расположен в некотором секторе видимости $\theta_1\le\theta\le\theta_2$, применение к нему полной области значений $[0,2\pi]$ (и, наверное, полярного описания вообще) неуместно.

Да, действительные значения (противоположных знаков) функция $\rho(\varphi)$ принимает только на двух отрезках: на указанном вами $\theta_1\le\theta\le\theta_2$ и на $\theta_1+\pi\le\theta\le\theta_2+\pi$.
Алексей К. в сообщении #751474 писал(а):
Может, у Вас они пересекаются гарантировано не более чем в двух точках (а могли бы и в четырёх пересечься... но там был какой-то намёк на параллельность осей, или даже именно больших осей)

В рамках моей задачи большие оси принимаются параллельными. Думается, что в этом случае эллипсы пересекаются не более чем в двух точках.

Алексей К. в сообщении #751474 писал(а):
Разборки с уравнением 4-й степени представляются неизбежными

Да, уже глянул на получающееся аналитическое решение в Mathematica на 16 экранов. Скорее всего параллельность осей должна помочь свести к более простому виду решения.

Алексей К. в сообщении #751474 писал(а):
Тогда кандидатом на центр полярной системы (если потом она реально понадобится) будет средняя точка.

Я так думаю, в этом направлении и пойду. Спасибо за мысль!

 
 
 
 Re: Интегрирование по области пересечения эллипсов
Сообщение04.08.2013, 11:33 
medicscience в сообщении #751636 писал(а):
Приношу извинения за арккосинусы
Да ну уж; это я чисто для поучительности написал, а после "хорошего человека" забыл смайлик поставить.
medicscience в сообщении #751636 писал(а):
Да, уже глянул на получающееся аналитическое решение в Mathematica на 16 экранов

Пользуя Mathematica и подобные штуки, нередко надо им помогать-подсказывать в таких задачах. Лично я предпочёл бы поделать это старательно ручками, или попросил бы Математику показать мне и приведённое уравнение, и кубическую резольвенту, и приведённую кубическую резольвенту, и её дискриминант, посмотрел бы на коэффициенты, в каких комбинациях там фигурируют параметры задачи, чего там есть явно положительного-отрицательного, и прочая. И что за штука дискриминирует касание, пересечение и отсутствие оного.

Не знаю, догадывается ли Mathematica как-то обозвать повторяющиеся комбинации и уменьшить количество экранов.

Разумеется, первый эллипс я бы поместил в каноническое положение, второй тогда тоже горизонтально лежал бы.

Не заменяет Mathematica ни рук, ни ручку с бумажкой.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group