А неполнота такого пространства Вам тоже не интересна? Вас не огорчит, если фундаментальные последовательности перестанут сходиться?
Ну, без полноты, конечно, несколько неудобно.
Если под телом понимать вселенную, которая расширяется (изменения объёма откладываем на прямой; получаем "объёмную" прямую), то откуда следует, что "объёмная" прямая имеет такую же структуру, как и "временная" прямая?
Ну нет, конечно же,
имеет иную структуру, нежели
.
Однако ситуация гораздо хитрее, чем тут неявно предполагается.
Мы можем использовать в качестве теории множеств, например, ZFC. Мы имеем дело с некоторой подразумеваемой моделью (интерпретацией) этой теории. Тут множество действительных чисел несчётно, полно и всё такое прочее. Однако тут есть некий фокус. Дело в том, что, согласно теореме Лёвенгейма — Сколема, ZFC имеет счётную модель, которую мы можем построить внутри нашей ZFC как подмодель нашей подразумеваемой модели. В этой модели можно стандартным образом определить действительные числа. И в этой модели множество действительных чисел несчётно, полно и всё такое прочее. Хотя с точки зрения нашей исходной ZFC это множество, разумеется, насквозь дырявое, поскольку из континуума точек в нём осталось только счётное подмножество. То же самое и с пространством: с точки зрения новой модели, оно трёхмерное и сплошное, а с точки зрения исходной модели — всего лишь счётное и сплошь дырявое.
И, разумеется, тут как раз реализуется то, о чём я говорил: как бы тело ни двигалось, оно попадает в дырки именно в те моменты времени, которые сами являются дырками.
удалить произвольное счетное плотное подмножество (например, все алгебраические точки), то любые две точки дополнения можно соединить непрерывной кривой. Его интерпретация: непрерывное движение возможно даже в несплошных пространствах, так что «наше» пространство также может быть несплошным, поскольку идея непрерывности основана на наблюдении непрерывного движения. Тем самым, надо пересмотреть механику.
можно соединить континуумом непересекающихся (точнее пересекающихся только в начальной и конечной точке) кривых. Так как точек выкинули счётное множество, то на одной из кривых не будет выкинутых точек.
утверждение очевидно неверно. Это означает, что если пространство "несплошное", то прямолинейного равномерного движения не существует в принципе. Ну очень уж неправдоподобно...
