Два вопроса о треугольниках с целыми длинами сторон

[Gornilo]

Уважаемый scwec,
берем два классических Пифагоровых треугольника $3N, 4N, 5N$, где $N$ - целое число. Если сложить их катетами
$4N$, то получим равнобедренный треугольник со сторонами
$a=5N, b=5N, c=6N$ и с высотой $h=4N$. В этем случае синус угла равен $\frac{4}{5}$. При этом площадь треугольника всегда равна $F=12N^2$. Поскольку число $12$ не является квадратом числа, то и площадь треугольника не равна квадрату числа. Если сложить указанные треугольники катетами $3N$, то синус угла будет равен $\frac{3}{5}$. При этом получим тот же результат: $F=12N^2$.

[Shadow]

nnosipov в сообщении #667486 писал(а):

А как эту систему исследовать? Можно поподробнее?

Нельзя, конечно. По крайней мере не так легко, как мне показалось.

[temp03]

Shadow в сообщении #667510 писал(а):

Нельзя, конечно. По крайней мере не так легко, как мне показалось.

Почему? А так как я нельзя по множителям?

[nnosipov]

temp03 в сообщении #667512 писал(а):

А так как я нельзя по множителям?

Да непросто там будет, скорее всего. Пробуйте. Примеры исследования подобных уравнений есть у Морделла в "Diophantine equations".

[scwec]

Да я и не против. Приведите его ( доказательство).

[scwec]

Сообщаю ответ. При $\sin{\alpha}=\frac{3}{5}$ не существует треугольника с площадью, которая есть полный квадрат

[scwec]

Проще всего это доказать так:
если целый треугольник с площадью, которая есть полный квадрат существует, то существует и рациональный треугольник с площадью $S=1$. При $\sin\alpha=\frac{3}{5}$ имеем либо 1. $\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{3}$ либо 2. $\ctg\frac{\alpha}{2}=3$.
Первому случаю соответствует эллиптическая кривая $y^2=x^3+(\frac{1}{3}-3)x^2-x$, а второму $y^2=x^3+(3-\frac{1}{3})x^2-x$. Обе имеют нулевой ранг, что проверяется с помощью PARI/GP. Для рациональных точек конечного порядка $y=0$ и они невырожденным треугольникам не соответствуют. Таким образом, рациональных треугольников с площадью $1$ в случае $\sin\alpha=\frac{3}{5}$ не существует.
Отмечу, что в случае $\sin\alpha=\frac{4}{5}$ ситуация другая. Там тоже два варианта $\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}$ и $\ctg\frac{\alpha}{2}=2$ и две эллиптических кривых $y^2=x^3+(\frac{1}{2}-2)x^2-x$ и $y^2=x^3+(2-\frac{1}{2})x^2-x$, но первая кривая имеет нулевой ранг и там решений нет, а вот вторая имеет ранг $1$ и решения есть.