Кто ошибся?

[Sinoid]

Доброй ночи! В старом учебнике геометрии нашел такую задачу: Постройте прямую, проходящую через вершину $A$ треугольника $ABC$, так, чтобы сумма расстояний до нее от вершин $B$ и $C$ была бы наибольшей. Вроде бы и задача не очень сложная, однако ответы не сошлись. В книге ответ однозначный: это прямая, проходящая через вершину $A$, перпендикулярно медиане, проведенной к стороне $BC$ (обозначим ее через $ m_a$). У меня же, в зависимости от соотношения $a$ и $2m_a$ получается один или два ответа. Я и чертежи делал в геогебре, проверял на частных примерах, измерял до сотых и получается по-моему. Подскажите, пожалуйста, кто из нас прав: я или автор книги?

[Otta]

Не знаю, правы ли Вы (потому что не знаю Вашего ответа, а сама не считала), но ответ из книжки мне не нравится.

Давайте возьмем треугольник с координатами вершин $A(0,1), B(-1,0), C(1,0)$. Тогда прямая, проходящая через вершину $A$, перпендикулярно медиане, проведенной к стороне $BC$, дает сумму расстояний два. Такую же сумму дает еще минимум одна прямая - ось ординат.

Если треугольник имеет вершины $A(0,1), B(-2,0), C(2,0)$, то вторая прямая даст большую сумму, чем первая. Поэтому ответ сомнительный.

(Оффтоп)

А как оно на самом деле - ночью лучше не смотреть )).

[Sinoid]

У меня в случае $2m_a<a$ в ответе вообще только прямая, содержащая высоту из вершины $A$, а прямая из ответа не подходит.

[Nacuott]

Это задача на экстремум функции.У меня ответ - прямая перпендикулярная медиане.

[Otta]

Nacuott
Тогда что в моем контрпримере не так?

[Maslov]

У меня получилось так:
Если $|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}| > |\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} |$, то прямая, перпендикулярная медиане, иначе - прямая, содержащая высоту.

[Батороев]

Могу и ошибаться в связи с довольно поздним временем на моем дворе, но кажется, что авторский ответ верный.
Если из середины стороны $BC$ опустить перпендикуляр на заданную прямую (пока не расшифровывая ее положение), то этот перпендикуляр будет средней линией трапеции, основаниями которой являются перпендикуляры из $B$ и $C$ к заданной прямой ("расстояниями от этих точек до прямой" (см. условие)), а боковыми сторонами - $BC$ и отрезок заданной прямой, заключенный между основаниями трапеции. Соответственно, максимум средней линии автоматически определяет максимум суммы оснований.
Если вращать заданную прямую вокруг вершины $A$, то средняя линия будет катетом прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна медиане. Максимальное значение этот катет может достичь тогда, когда займет положение гипотенузы.

[Maslov]

Батороев, Otta привела контрпример:

Otta в сообщении #749977 писал(а):

Если треугольник имеет вершины $A(0,1), B(-2,0), C(2,0)$, то вторая прямая даст большую сумму, чем первая. Поэтому ответ сомнительный.

[Батороев]

Maslov в сообщении #750293 писал(а):

Батороев, Otta привела контрпример:

Otta в сообщении #749977 писал(а):

Если треугольник имеет вершины $A(0,1), B(-2,0), C(2,0)$, то вторая прямая даст большую сумму, чем первая. Поэтому ответ сомнительный.

Да, действительно, что-то с условием не то. Мое решение подойдет при дополнительном условии непересечения прямой треугольника.

[Maslov]

Если расположить вершину $A$ треугольника в начале координат и обозначить

$\vec {b} = \overrightarrow {AB}$
$\vec {c} = \overrightarrow {AC}$
$\vec {n}$ - единичный вектор, нормальный к искомой прямой,

то для суммы расстояний получим

$d = |\vec{b}~\vec{n}| + |\vec{c}~\vec{n}|$

В зависимости от знаков $\vec{b}~\vec{n}$ и $\vec{c}~\vec{n}$ это даст $|(\vec{b}+\vec{c})~\vec{n}|$ или $|(\vec{b}-\vec{c})~\vec{n}|$

В первом случае локальный максимум расстояния, равный $|\vec b + \vec c|$, достигается при коллинеарности $\vec n$ и ${\vec b + \vec c}$ (искомая прямая перпендикулярна медиане), во втором - локальный максимум, равный $|\vec b - \vec c|$, достигается при коллинеарности $\vec n$ и $\vec b - \vec c$ (искомая прямая перпендикулярна стороне $BC$).

Что из них больше, то и будет глобальным максимумом.

[Sinoid]

Мое решение как у Батороева, только я еще рассматривал прямые, пересекающие сторону $BC$. Решением из прямых этого множества является прямая, содержащая высоту. Остается выбрать максимум между этой прямой и прямой, полученной выше. Тут-то и начинает играть значение соотношение между $a$ и $m_a$.