Числовой ряд

[Padawan]

Исследовать на сходимость ряд

\sum_{n=3}^\infty \frac {1} {nln n ln(ln n) \ldots ln(ln(\ldots ln n))\ldots )}.

В каждом слагаемом последний множитель знаменателя содержит столько логарифмов, чтобы этот последний множитель был $\geq 1$.

[maxal]

Наверное, имеется в виду что число логарифмов максимально возможное для каждого слагаемого?

Пусть $x_0 = 1$ и $x_{n+1} = e^{x_n}.$
Заметим, что на полуинтервале $[x_n, x_{n+1})$ число множителей в знаменателе равно $n+1$. При этом сумму ряда на этом интервале можно оценить снизу интегралом:

$$\int_{x_n + 1}^{x_{n+1}} \frac{dx}{x\ln(x)\ln\ln(x)\dots} = 1 - \ln\ln\dots\ln(x_n+1),$$

где $\ln$ берется $n+1$ раз.

Заметим, что

$$\ln(x+\alpha) = \ln(x) + \ln(1+\frac{\alpha}{x}) \leq \ln(x) + \frac{\alpha}{x}.$$

Поэтому

$$\ln\ln\dots\ln(x_n+1) \leq \ln\ln\dots\ln(x_{n-1} + \frac{1}{x_n}) \leq \dots \leq \frac{1}{x_nx_{n-1}\dots x_0}.$$

Так как ряд $\sum \frac{1}{x_nx_{n-1}\dots x_0} = c < +\infty$, то сумма исходного ряда оценивается снизу величиной $-c + \sum_{n=1}^{\infty} 1 = +\infty$, то есть исходный ряд расходится.

[Руст]

Вообще то это задача очевидная. Суммы распространяются по интервалом $(x_k, x_{k+1}), x_0=1,x_{n+1}=e^{x_n}$ и в каждом интервале сумма порядка 1 (больше 1/2).