Разложение функций в степенной ряд

[rabbit-a]

Уважаемые математики, не подскажите ли в какой степенной ряд раскладывается функция $\tg(x)$ в окрестности точки $x=0$. Или справочник, где можно найти общий член этого ряда.
Вот разложение, которое я посчитал до 9-ого члена, но общей закономерности подметить не могу:
$\tg x\sim x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\frac{62x^9}{2835}+\ldots; x\rightarrow 0$
Отношение знаменателей (большего к меньшему) коэффициентов у соседних членов представляет собой целые числа (по крайней мере, для этих членов): $3:1=3; 15:3=5; 315:15=21; 2835:315=9$; - и здесь не могу увидеть закономерности.
Вообще меня интересует разложение $\arctg(x)$ в ряд, которое я не могу найти.
Когда я посчитал несколько первых производных, у меня сложилось впечатление, что разложение будет таким:
$\arctg(x)\sim x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+…+(-1)^{(n+1)}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}+…; x\rightarrow 0$
Верно ли это??!
Если это верно, то как проще всего это доказать? У меня была идея воспользоваться соотношением $\tg(\arctg x)=x$ и искать коэф. из системы
$(Ax+Bx^3+Cx^5+\ldots)+\frac{1}{3}(Ax+Bx^3+Cx^5+\ldots)^3+\frac{2}{15}( Ax+Bx^3+Cx^5+\ldots)^5+\ldots=x$
но, поскольку я не могу найти общий член для разложения $\tg(x)$, видимо этот метод не приведет меня к успеху.

Deggial: формулы поправил

[angor6]

rabbit-a
http://school-collection.edu.ru/dlrstor ... ngens.html

[rabbit-a]

О, благодарю! интересно, а для арктангенса есть что-нибудь подобное?

[iifat]

rabbit-a в сообщении #749355 писал(а):

интересно, а для арктангенса есть что-нибудь подобное?

Это называется ряд Маклорена (смутно помнится, что раньше называлось Маклареном; уж и не знаю, то ли мой склероз, то ли новая мода), частный случай ряда Тэйлора. Ссылку не даю, уж очень общеизвестное понятие. В частности, для акртангенса обязательно есть "нечто подобное", более того, по-моему, вы его выписали правильно. Вот только там не эквивалентность, а (раз уж речь идёт о бесконечном ряде) точное равенство. И не при $x\rightarrow0$, а при $x$ в пределах круга сходимости, коего уж не помню. А, собственно, чего там помнить — единица, конечно. $-1 < x \le1$. Лучше почитайте учебники по матанализу, там есть и это, и много ещё интересного.

[Otta]

rabbit-a в сообщении #749355 писал(а):

а для арктангенса есть что-нибудь подобное?

Для арктангенса все много проще. Получить просто: продифференцировать, разложить в ряд производную и проинтегрировать обратно. Обоснуете, почему это можно делать почленно, сами.

[rabbit-a]

Otto, спасибо большое! $(arctg x)'=\frac{1}{1+x^2}$ расладываю в ряд, а затем дифференцирую, ясно! Теоремы обоснования нашел.
Уважаемый iifat, спасибо. Конечно на промежутке, просто меня интересовало именно вблизи нуля. Да и вместо $\sim,$ конечно знак равенства.