Дьявольские магические квадраты из простых чисел

dmd · 16/08/05 1153

Ну что ж, есть контакт!

dmd в сообщении #749100 писал(а):

Код:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16
x17 x18 x19 x20 x21 x22 x23 x24
x25 x26 x27 x28 x29 x30 x31 x32
k-x5 k-x6 k-x7 k-x8 k-x1 k-x2 k-x3 k-x4
k-x13 k-x14 k-x15 k-x16 k-x9 k-x10 k-x11 k-x12
k-x21 k-x22 k-x23 k-x24 k-x17 k-x18 k-x19 k-x20
k-x29 k-x30 k-x31 k-x32 k-x25 k-x26 k-x27 k-x28

Код:

x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=4k
x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16=4k
x17+x18+x19+x20+x21+x22+x23+x24=4k
x25+x26+x27+x28+x29+x30+x31+x32=4k
x1+x9+x17+x25-x5-x13-x21-x29=0
x2+x10+x18+x26-x6-x14-x22-x30=0
x3+x11+x19+x27-x7-x15-x23-x31=0
x4+x12+x20+x28-x8-x16-x24-x32=0

Код:

 x8 = 4 k - x1 - x2 - x3 - x4 - x5 - x6 - x7
 x16 = 4 k - x10 - x11 - x12 - x13 - x14 - x15 - x9
 x24 = 4 k - x17 - x18 - x19 - x20 - x21 - x22 - x23
 x29 = x1 - x13 + x17 - x21 + x25 - x5 + x9
 x30 = x10 - x14 + x18 + x2 - x22 + x26 - x6
 x31 = x11 - x15 + x19 - x23 + x27 + x3 - x7
 x28 = 8 k - x1 - x10 - x11 - x12 - x17 - x18 - x19 - x2 - x20 - x25 - x26 - x27 - x3 - x4 - x9
 x32 = -4 k + x12 + x13 + x14 + x15 + x20 + x21 + x22 + x23 - x25 - x26 - x27 + x4 + x5 + x6 + x7

Для этой системы научился искать пандиагональные квадраты из простых чисел. Переменные x1..x7, x9..x15, x17..x23 подбираю случайно, а по оставшимся x25, x26,x27 организую полный перебор. Минимальный квадрат, который нашел, имеет k=630 и S=2520. Число 630 собирает 41 комплиментарную пару простых. Есть только два других меньших k=510 и k=600, которые имеют приемлемые количества комплиментарных пар (по 32), но для них я не смог найти квадратов.

-- Чт июл 25, 2013 22:12:22 --

Если правильно понимаю, то для квадрата 7х7 актуальны только k=390 (27 к.пар, S=1365), k=420 (30 к.пар, S=1470), k=450 (27 к.пар, S=1575), которые меньше регулярного минимума 1597.

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

dmd в сообщении #749193 писал(а):

Есть только два других меньших k=510 и k=600, которые имеют приемлемые количества комплиментарных пар (по 32), но для них я не смог найти квадратов.

Для $k=510$ пандиагональный квадрат существует (см. статью, рис. 37).
А решение $S=1584$ получено мной из псевдокомплементарных пар (алгоритм описан в той же статье). Может быть, этот алгоритм даст и лучшие решения, я не выжимала из него всё до конца.

-- Чт июл 25, 2013 22:43:33 --

По поводу N=7 для данного алгоритма (построение из комплементарных пар) я совсем недавно писала:

Nataly-Mak в сообщении #748346 писал(а):

Проанализировала ситуацию с N=7. Если даже квадрат из простых чисел по данной формуле и существует в природе, то его магическая константа никак не может быть меньше 1597. Значит, здесь нечего ловить.

Вы не учли один момент: в квадрате 7-го порядка, построенном из комплементарных пар, присутствует элемент k/2, и значит, это число должно быть простым. Во всех ваших примерах k/2 не является простым числом.

dmd · 16/08/05 1153

Код:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14
x15 x16 x17 x18 x19 x20 x21
x22 x23 x24 k/2 k-x24 k-x23 k-x22
k-x21 k-x20 k-x19 k-x18 k-x17 k-x16 k-x15
k-x14 k-x13 k-x12 k-x11 k-x10 k-x9 k-x8
k-x7 k-x6 k-x5 k-x4 k-x3 k-x2 k-x1

Код:

x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=7k/2
x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14=7k/2
x15+x16+x17+x18+x19+x20+x21=7k/2
x1+x8+x15+x22-x21-x14-x7=k/2
x2+x9+x16+x23-x20-x13-x6=k/2
x3+x10+x17+x24-x19-x12-x5=k/2
x1+x14+x20-x24-x18-x12-x6=-k/2
x2+x8+x21-x23-x17-x11-x5=-k/2
x3+x9+x15-x22-x16-x10-x4=-k/2
x7+x8+x16+x24-x18-x10-x2=k/2
x6+x14+x15+x23-x19-x11-x3=k/2
x5+x13+x21+x22-x20-x12-x4=k/2

Еще одно решение этой системы:

Код:

 x7 = (7 k)/2 - x1 - x2 - x3 - x4 - x5 - x6
 x14 = (7 k)/2 - x8 - x9 - x10 - x11 - x12 - x13
 x15 = 3 k - x1 - x2 - x3 - x8 - x9
 x16 = 3 k - x1 - x10 + x13 - 2 x2 - x3 - x4 + x5 + x6 - x8 - x9
 x17 = 3 k - x1 - x10 - x11 + x12 - x2 - 2 x3 + x6 - x9
 x18 = 3 k - x10 - x12 - x2 - x4 - x6
 x19 = -(k/2) + x1 + x10 - x11 - x12 - x13 + 2 x2 + x3 + x4 - x5
 x20 = -4 k + x1 + x10 + x11 + 2 x2 + 2 x3 - x6 + x8 + 2 x9
 x21 = -4 k + x1 + x10 + x11 + x12 + x2 + x3 + x4 + x8 + x9
 x22 = k/2 - x13 + x2 + x3 - x5 - x6 + x9
 x23 = -((13 k)/2) + 2 x1 + 2 x10 + x11 + 3 x2 + 3 x3 + x4 - x5 - x6 + 2 x8 + 2 x9 && 
 x24 = -3 k + 2 x1 + x10 - x12 - x13 + 3 x2 + 2 x3 + x4 - x6 + x9

Можно попробовать сделать так. Переменные x1..x6 перебирать случайно, а для x8..x13 организовать полный перебор. 30^6=729000000 - вполне приемлемо.

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Посмотрите в моём предыдущем посте замечание о квадратах 7-го порядка, построенных из комплементарных пар чисел.

dmd · 16/08/05 1153

Nataly-Mak в сообщении #749233 писал(а):

Вы не учли один момент: в квадрате 7-го порядка, построенном из комплементарных пар, присутствует элемент k/2, и значит, это число должно быть простым. Во всех ваших примерах k/2 не является простым числом.

Действительно, первое подходящее k, которое имеет простое k/2 есть k=1234

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Поэтому пандиагональный квадрат 7-го порядка надо пытаться строить по общей формуле (24 независимых переменных).
Ну, или придумать какой-то другой алгоритм.
Можно ещё пробовать построение по шаблону. Это намного уменьшает перебор.

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Уф!
Закон подлости... раз 5 проверила систему и... ошиблась... Когда особо стараешься не ошибиться, тут как раз и ошибаешься.
Забыла описать столбцы в совершенном квадрате 10-го порядка:

Код:

x1+x11+x21+x31+x41-x6-x16-x26-x36-x46=0
x2+x12+x22+x32+x42-x7-x17-x27-x37-x47=0
x3+x13+x23+x33+x43-x8-x18-x28-x38-x48=0
x4+x14+x24+x34+x44-x9-x19-x29-x39-x49=0
x5+x15+x25+x35+x45-x10-x20-x30-x40-x50=0

Проверила формулу на известном квадрате, всё получилось. Написала программу, построила квадрат из произвольных натуральных чисел ( $k=200$ ) и с удивлением обнаружила, что в квадрате всё замечательно, кроме того, что нет нужных сумм в столбцах.
Пришлось вставлять в программу проверку сумм в столбцах и добиваться того, чтобы нужные суммы в столбцах были. Совершенный квадрат всё-таки построила:

Код:

188 21 165 54 142 48 161 25 194
50 141 73 108 96 114 77 137 44
83 126 60 159 37 153 56 130 89
52 139 75 106 98 112 79 135 46
145 64 122 97 99 91 118 68 151
152 39 175 6 198 12 179 35 146
86 123 63 156 40 150 59 127 92
47 144 70 111 93 117 74 140 41
88 121 65 154 42 148 61 125 94
109 82 132 49 155 55 136 78 103

Это не такой квадрат, какой был у меня построен давно; в том квадрате $k=170$ (он показан выше).

Ну, что теперь делать?
Если добавить к системе пропущенные пять уравнений и снова её решить, что получится? Сколько независимых переменных будет?
Сейчас при заданном $k$ имеем всего 9 независимых переменных.

Впереди самая трудная часть эксперимента: построение хотя бы одного совершенного квадрата 10-го порядка из различных простых чисел. Пока у меня нет ни одного такого квадрата.

Тем временем у меня работает программа поиска наименьшего совершенного квадрата 8-го порядка из простых чисел. Сейчас проверяется самый большой массив чисел, 218 комплементарных пар, $k=5460$ . Программа работает с самого утра, не прошла ещё и половины.

-- Пт июл 26, 2013 16:25:08 --

Построенный совершенный квадрат в "проверялке" mertz

Жаль, что эта "проверялка" не такая красивая, какие были у mertz в прежних конкурсах.

Обвела несколько квадратов 2х2. В каждом квадрате 2х2, находящемся внутри совершенного квадрата, сумма чисел одна и та же и равна $2k$ .
Даже если свернуть квадрат в трубку (по любой оси - горизонтальной или вертикальной), в квадратах 2х2, образовавшихся на стыке границ квадрата, это условие тоже выполняется. Понятно, что квадрат остаётся совершенным при параллельном переносе на торе.

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Теперь решила попробовать строить пандиагональные квадраты 9-го порядка из комплементарных пар чисел по аналогии с N=7.
Прикинула, для N=9 есть кандидаты на решение по данному алгоритму с магической константой $S<24237$ (это у нас идеальный квадрат, построенный alexBlack).
Пандиагонального квадрата 9-го порядка из различных простых чисел с меньшей магической константой я пока не имею.
А очень хочется заиметь

Итак, берём для образца классический пандиагональный (но не идеальный!) квадрат 9-го порядка:

Код:

56 75 69 40 32 53 27 16
25 10 2 57 78 67 41 35
44 36 52 19 11 3 60 76
58 77 71 45 34 46 20 12
21 15 4 59 80 72 43 28
37 29 48 24 13 5 62 81
63 79 64 38 30 51 22 14
23 17 9 61 73 65 39 33
42 31 50 26 18 7 55 74

(этот квадрат построен методом Россера - Теорема 5.5)

Делаем схему этого квадрата, здесь довольно оригинальное обозначение элементов:

Код:

x1 k-x26 k-x7 k-x13 x40 x32 k-x29 x27 x16
k-x28 x25 x10 x2 k-x25 k-x4 k-x15 k/2 x35
k-x14 k-x38 x36 k-x30 x19 x11 x3 k-x22 k-x6
x6 k-x24 k-x5 k-x11 k-x37 x34 k-x36 x20 x12
k-x35 x21 x15 x4 k-x23 k-x2 k-x10 k-x39 x28
k-x12 x37 x29 k-x34 x24 x13 x5 k-x20 k-x1
x8 k-x19 k-x3 k-x18 x38 x30 k-x31 x22 x14
k-x33 x23 x17 x9 k-x21 k-x9 k-x17 x39 x33
k-x16 k-x40 x31 k-x32 x26 x18 x7 k-x27 k-x8

Осталось описать этот квадрат и решить систему уравнений.
В формуле для пандиагонального квадрата 7-го порядка, составляемого из комплементарных пар чисел, мы имеем всего 4 независимых переменных (при заданном $k$ ). При этом в общей формуле пандиагонального квадрата 7-го порядка 24 независимых переменных (при заданной магической константе). 24 и 4! Разница огромная.
Очень интересно, сколько будет независимых переменных в формуле для пандиагонального квадрата 9-го порядка, составляемого из комплементарных пар чисел.

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Пандиагональный квадрат 9-го порядка по представленной выше схеме описала:

(Оффтоп)

Код:

x1-x26-x7-x13+x40+x32-x29+x27+x16=k/2
-x28+x10+x2-x4-x15+x35=0
-x14-x38+x36-x30+x19+x11+x3-x22-x6=-k/2
x6-x24-x5-x11-x37+x34-x36+x20+x12=-k/2
-x35+x21+x15+x4-x23-x2-x10-x39+x28=-k/2
-x12+x37+x29-x34+x24+x13+x5-x20-x1=k/2
x8-x19-x3-x18+x38+x30-x31+x22+x14=k/2
x23-x21+x39=k/2
-x16-x40+x31-x32+x26+x18+x7-x27-x8=-k/2
x1-x28-x14+x6-x35-x12+x8-x33-x16=-3k/2
-x26+x25-x38-x24+x21+x37-x19+x23-x40=-k/2
-x7+x10+x36-x5+x15+x29-x3+x17+x31=3k/2
-x13+x2-x30-x11+x4-x34-x18+x9-x32=-3k/2
x1+x25+x36-x11-x23+x13-x31+x39-x8=k/2
x1+x35-x22-x36-x2+x24-x18+x17-x40=-k/2
-x26-x28-x6+x20-x10+x13+x38+x9+x31=k/2
-x7+x25-x14+x12-x39+x5+x30-x21-x32=-k/2
-x29-x4+x19-x11+x15+x37+x8+x33-x27=k/2
x16-x28-x38-x5+x4+x24+x30-x17-x27=-k/2
x27+x35-x14-x24+x15-x34+x38-x9+x7=k/2
x32-x15-x22+x12-x35+x37-x3+x9+x26=k/2
x40-x4+x3+x20+x28-x12-x19+x17-x32=k/2
-x13-x25+x11-x36-x39-x1+x8+x23+x31=-k/2
-x7+x2+x19+x34-x10-x20+x14-x33-x40=-k/2
-x26+x10-x30-x37-x2+x5+x22+x33-x16=-k/2

Надеюсь, что не наврала.
Подстановкой числовых значений все уравнения проверила.
Кстати, здесь очень удобно проверять, так как индекс элемента равен его значению, например: $x_{32}=32$ .
Вспомнила этот удобный способ обозначения элементов, который много раз использовала раньше.
Осталось решить систему.
И надо бы всё же перерешать систему для совершенного квадрата 10-го порядка с 5 добавленными уравнениями. Приведу полную систему:

(Оффтоп)

Код:

x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=5k
x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18+x19+x20=5k
x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27+x28+x29+x30=5k
x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37+x38+x39+x40=5k
x41+x42+x43+x44+x45+x46+x47+x48+x49+x50=5k
x1+x11+x21+x31+x41-x6-x16-x26-x36-x46=0
x2+x12+x22+x32+x42-x7-x17-x27-x37-x47=0
x3+x13+x23+x33+x43-x8-x18-x28-x38-x48=0
x4+x14+x24+x34+x44-x9-x19-x29-x39-x49=0
x5+x15+x25+x35+x45-x10-x20-x30-x40-x50=0
x1+x10-x46-x45=0
x1+x2-x46-x47=0
x2+x3-x47-x48=0
x3+x4-x48-x49=0
x4+x5-x49-x50=0
x5+x6-x50-x41=0
x6+x7-x41-x42=0
x7+x8-x42-x43=0
x8+x9-x43-x44=0
x9+x10-x44-x45=0
x1+x11+x10+x20=2k
x11+x21+x20+x30=2k
x21+x31+x30+x40=2k
x31+x41+x40+x50=2k
x6+x16+x5+x15=2k
x16+x26+x15+x25=2k
x26+x36+x25+x35=2k
x36+x46+x35+x45=2k
x1+x2+x11+x12=2k
x2+x3+x12+x13=2k
x3+x4+x13+x14=2k
x4+x5+x14+x15=2k
x5+x6+x15+x16=2k
x6+x7+x16+x17=2k
x7+x8+x17+x18=2k
x8+x9+x18+x19=2k
x9+x10+x19+x20=2k
x11+x12+x21+x22=2k
x12+x13+x22+x23=2k
x13+x14+x23+x24=2k
x14+x15+x24+x25=2k
x15+x16+x25+x26=2k
x16+x17+x26+x27=2k
x17+x18+x27+x28=2k
x18+x19+x28+x29=2k
x19+x20+x29+x30=2k
x21+x22+x31+x32=2k
x22+x23+x32+x33=2k
x23+x24+x33+x34=2k
x24+x25+x34+x35=2k
x25+x26+x35+x36=2k
x26+x27+x36+x37=2k
x27+x28+x37+x38=2k
x28+x29+x38+x39=2k
x29+x30+x39+x40=2k
x31+x32+x41+x42=2k
x32+x33+x42+x43=2k
x33+x34+x43+x44=2k
x34+x35+x44+x45=2k
x35+x36+x45+x46=2k
x36+x37+x46+x47=2k
x37+x38+x47+x48=2k
x38+x39+x48+x49=2k
x39+x40+x49+x50=2k

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Начнём сначала

Минимальный порядок совершенных магических квадратов равен 4.
Известно, что все пандиагональные квадраты 4-го порядка являются совершенными. Это имеет место только для порядка 4.

Схема совершенного квадрата 4-го порядка:

Код:

x1 x2 x3 x4
x5 x6 x7 x8
k-x3 k-x4 k-x1 k-x2
k-x7 k-x8 k-x5 k-x6

Описание этого квадрата:

Код:

x1+x2+x3+x4=2k
x5+x6+x7+x8=2k
x1+x5-x3-x7=0
x2+x6-x4-x8=0
x1+x4-x7-x6=0
x1+x2+x5+x6=2k
x2+x3+x6+x7=2k
x3+x4+x7+x8=2k
x1+x5+x4+x8=2k
x1+x2-x7-x8=0
x2+x3-x8-x5=0
x3+x4-x5-x6=0

Систему решала в Вольфраме; все уравнения у меня не влезли, но решение вроде получилось правильное:

Код:

x4=2k-x1-x2-x3
x6=2k-x1-x2-x5
x7=x1-x3+x5
x8=x2+x3-x5

Можно показать наименьший совершенный квадрат 4-го порядка из простых чисел:

Код:

По формуле это решение получается.

Переходим к совершенным квадратам порядка 6. Я этими квадратами давно занималась, но вот общей формулы у меня нет. А очень интересно, какой она будет, сколько независимых переменных.
Наименьший совершенный квадрат 6-го порядка из различных простых чисел я нашла, но не мешало бы ещё раз убедиться в его минимальности. Общая формула как раз может помочь это сделать.

Сейчас сделаю описание этого квадрата.

dmd · 16/08/05 1153

Nataly-Mak в сообщении #749509 писал(а):

Пандиагональный квадрат 9-го порядка по представленной выше схеме описала:

(Оффтоп)

Код:

x1-x26-x7-x13+x40+x32-x29+x27+x16=k/2
-x28+x10+x2-x4-x15+x35=0
-x14-x38+x36-x30+x19+x11+x3-x22-x6=-k/2
x6-x24-x5-x11-x37+x34-x36+x20+x12=-k/2
-x35+x21+x15+x4-x23-x2-x10-x39+x28=-k/2
-x12+x37+x29-x34+x24+x13+x5-x20-x1=k/2
x8-x19-x3-x18+x38+x30-x31+x22+x14=k/2
x23-x21+x39=k/2
-x16-x40+x31-x32+x26+x18+x7-x27-x8=-k/2
x1-x28-x14+x6-x35-x12+x8-x33-x16=-3k/2
-x26+x25-x38-x24+x21+x37-x19+x23-x40=-k/2
-x7+x10+x36-x5+x15+x29-x3+x17+x31=3k/2
-x13+x2-x30-x11+x4-x34-x18+x9-x32=-3k/2
x1+x25+x36-x11-x23+x13-x31+x39-x8=k/2
x1+x35-x22-x36-x2+x24-x18+x17-x40=-k/2
-x26-x28-x6+x20-x10+x13+x38+x9+x31=k/2
-x7+x25-x14+x12-x39+x5+x30-x21-x32=-k/2
-x29-x4+x19-x11+x15+x37+x8+x33-x27=k/2
x16-x28-x38-x5+x4+x24+x30-x17-x27=-k/2
x27+x35-x14-x24+x15-x34+x38-x9+x7=k/2
x32-x15-x22+x12-x35+x37-x3+x9+x26=k/2
x40-x4+x3+x20+x28-x12-x19+x17-x32=k/2
-x13-x25+x11-x36-x39-x1+x8+x23+x31=-k/2
-x7+x2+x19+x34-x10-x20+x14-x33-x40=-k/2
-x26+x10-x30-x37-x2+x5+x22+x33-x16=-k/2

(Оффтоп)

Код:

 x29 = x3 - x32 + x33 - x34 + 3 x35 - x36 + x38 - x4 - x40 + x5 - x6 + 2 x7 - x8 - x9
 x26 = x27 + x3 - 2 x30 + x31 - x32 + x33 - 2 x34 + 3 x35 - x37 + x38 + x39 + x4 - x40 + x5 - 2 x6 + 2 x7 - 3 x8
 x25 = x27 - x28 + x31 - x34 + 3 x35 - 2 x36 - x37 + 2 x38 - x40 + 2 x7 - x8 - x9
 x24 = x27 + x28 + x3 - x30 - x31 + x35 - x37 + x39 + x7 - x8 - x9
 x23 = x27 + x28 + (3 x3)/2 - 2 x30 - (3 x32)/2 + x33 - 2 x34 + 3 x35 + x36/2 - (3 x37)/2 + x38 + x39 + x4 - x40/2 + x5 - 2 x6 + (5 x7)/2 - (7 x8)/2 - x9/2
 x22 = x27 + x28 + (5 x3)/2 - 4 x30 + x31 - (5 x32)/2 + 2 x33 - 4 x34 + 6 x35 + x36/2 - (3 x37)/2 + x38 + 3 x39 + 2 x4 - (5 x40)/2 + x5 - 4 x6 + (11 x7)/2 - (13 x8)/2 - x9/2
 x21 = x27 + x28 + 2 x3 - 2 x30 - 2 x32 + x33 - 2 x34 + 4 x35 - 2 x37 + x38 + 2 x39 + x4 - x40 + x5 - 2 x6 + 3 x7 - 4 x8 - x9
 x20 = x27 - x34 + 2 x35 - x36 + x38 - x40 + x5 + x7 - x8 - x9
 x2 = x28 - x31 + x32 + x34 - 2 x35 - x38 + x40 + x6 - x7 + x8
 x19 = x27 + x3 - x30 + x31 - 2 x32 + x33 - 3 x34 + 5 x35 - x36 - x37 + 2 x38 + x39 + x4 - 2 x40 + x5 - 2 x6 + 4 x7 - 4 x8 - x9
 x18 = -(x3/2) - x31 + x32/2 - x35 + x36/2 + x37/2 + x40/2 - x7/2 + (3 x8)/2 + x9/2
 x17 = x3/2 - 2 x30 - x32/2 + x33 - 2 x34 + x35 + (3 x36)/2 - x37/2 + 2 x39 + 2 x4 - x40/2 - 2 x6 + (5 x7)/2 - (5 x8)/2 + x9/2
 x16 = -2 x30 + x31 - x32 + x33 - 2 x34 + x35 + x36 + x38 + x39 + x4 - x40 + x5 - 2 x6 + 2 x7 - 2 x8 + x9
 x15 = -x3 + x30 - x31 + 2 x32 - x33 + 2 x34 - 4 x35 + x37 - x38 - x39 - x4 + 2 x40 + 2 x6 - 3 x7 + 3 x8 + x9
 x14 = -x28 - (3 x3)/2 + 2 x30 + (3 x32)/2 - x33 + x34 - 3 x35 - x36/2 + (3 x37)/2 - 2 x39 - x4 + (3 x40)/2 + 2 x6 - (5 x7)/2 + (7 x8)/2 + x9/2
 x13 = x28 - x3/2 - x30 + x32/2 - 3 x35 + (3 x36)/2 + x37/2 - x38 + x4 + (3 x40)/2 - (3 x7)/2 + x8/2 + (3 x9)/2
 x12 = x28 + x3 - x30 - x31 - x35 + x36 - x38 + x39 + x40
 x11 = -(x3/2) + x32/2 - x35 - x36/2 + x37/2 + x40/2 + x6 - x7/2 + x8/2 + x9/2
 x10 = -x3 + x30 + x32 - x33 + x34 - 3 x35 + x37 - x39 + x40 + x6 - 2 x7 + 2 x8 + x9
 x1 = x28 + x3 - x30 - x32 + x33 - x34 + x35 + x5 - x6 + x7 - x8
 k = -x3 + x32 - 2 x35 + x36 + x37 + x40 - x7 + x8 + x9

Nataly-Mak в сообщении #749509 писал(а):

И надо бы всё же перерешать систему для совершенного квадрата 10-го порядка с 5 добавленными уравнениями. Приведу полную систему:

(Оффтоп)

Код:

x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=5k
x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18+x19+x20=5k
x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27+x28+x29+x30=5k
x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37+x38+x39+x40=5k
x41+x42+x43+x44+x45+x46+x47+x48+x49+x50=5k
x1+x11+x21+x31+x41-x6-x16-x26-x36-x46=0
x2+x12+x22+x32+x42-x7-x17-x27-x37-x47=0
x3+x13+x23+x33+x43-x8-x18-x28-x38-x48=0
x4+x14+x24+x34+x44-x9-x19-x29-x39-x49=0
x5+x15+x25+x35+x45-x10-x20-x30-x40-x50=0
x1+x10-x46-x45=0
x1+x2-x46-x47=0
x2+x3-x47-x48=0
x3+x4-x48-x49=0
x4+x5-x49-x50=0
x5+x6-x50-x41=0
x6+x7-x41-x42=0
x7+x8-x42-x43=0
x8+x9-x43-x44=0
x9+x10-x44-x45=0
x1+x11+x10+x20=2k
x11+x21+x20+x30=2k
x21+x31+x30+x40=2k
x31+x41+x40+x50=2k
x6+x16+x5+x15=2k
x16+x26+x15+x25=2k
x26+x36+x25+x35=2k
x36+x46+x35+x45=2k
x1+x2+x11+x12=2k
x2+x3+x12+x13=2k
x3+x4+x13+x14=2k
x4+x5+x14+x15=2k
x5+x6+x15+x16=2k
x6+x7+x16+x17=2k
x7+x8+x17+x18=2k
x8+x9+x18+x19=2k
x9+x10+x19+x20=2k
x11+x12+x21+x22=2k
x12+x13+x22+x23=2k
x13+x14+x23+x24=2k
x14+x15+x24+x25=2k
x15+x16+x25+x26=2k
x16+x17+x26+x27=2k
x17+x18+x27+x28=2k
x18+x19+x28+x29=2k
x19+x20+x29+x30=2k
x21+x22+x31+x32=2k
x22+x23+x32+x33=2k
x23+x24+x33+x34=2k
x24+x25+x34+x35=2k
x25+x26+x35+x36=2k
x26+x27+x36+x37=2k
x27+x28+x37+x38=2k
x28+x29+x38+x39=2k
x29+x30+x39+x40=2k
x31+x32+x41+x42=2k
x32+x33+x42+x43=2k
x33+x34+x43+x44=2k
x34+x35+x44+x45=2k
x35+x36+x45+x46=2k
x36+x37+x46+x47=2k
x37+x38+x47+x48=2k
x38+x39+x48+x49=2k
x39+x40+x49+x50=2k

(Оффтоп)

Код:

 x48 = -x49 + x8 + x9
 x47 = x49 + x7 - x9
 x46 = -x49 + x6 + x9
 x45 = x49 + x5 - x9
 x44 = -x5 + x50 + x9
 x43 = x5 - x50 + x8
 x42 = -x5 + x50 + x7
 x41 = x5 - x50 + x6
 x4 = x49 - x5 + x50
 x39 = -x40 - (3 x49)/5 + (2 x5)/5 - (3 x50)/5 + (4 x6)/5 + (4 x7)/5 + (4 x8)/5 + (2 x9)/5
 x38 = x40 + x49 + x50 - x8 - x9
 x37 = -x40 - (3 x49)/5 + (2 x5)/5 - (3 x50)/5 + (4 x6)/5 - x7/5 + (4 x8)/5 + (7 x9)/5
 x36 = x40 + x49 + x50 - x6 - x9
 x35 = -x40 - (3 x49)/5 - (3 x5)/5 - (3 x50)/5 + (4 x6)/5 + (4 x7)/5 + (4 x8)/5 + (7 x9)/5
 x34 = x40 + x5 - x9
 x33 = -x40 + (2 x49)/5 - (3 x5)/5 + (2 x50)/5 + (4 x6)/5 + (4 x7)/5 - x8/5 + (2 x9)/5
 x32 = x40 + x5 - x7
 x31 = -x40 + (2 x49)/5 - (3 x5)/5 + (2 x50)/5 - x6/5 + (4 x7)/5 + (4 x8)/5 + (2 x9)/5
 x3 = -x49 + x5 - x50 + x8 + x9
 x29 = -x30 + x49 + x50
 x28 = x30 - x49 - x50 + x8 + x9
 x27 = -x30 + x49 + x50 + x7 - x9
 x26 = x30 - x49 - x50 + x6 + x9
 x25 = -x30 + x49 + x5 + x50 - x9
 x24 = x30 - x5 + x9
 x23 = -x30 + x5 + x8
 x22 = x30 - x5 + x7
 x21 = -x30 + x5 + x6
 x20 = -x30 - x40 - x49/10 + (9 x5)/10 - (11 x50)/10 + (4 x6)/5 + (4 x7)/5 + (4 x8)/5 + (9 x9)/10
 x2 = x49 - x5 + x50 + x7 - x9
 x19 = x30 + x40 - x49/2 - x5/2 + x50/2 - x9/2
 x18 = -x30 - x40 + (9 x49)/10 + (9 x5)/10 - x50/10 + (4 x6)/5 + (4 x7)/5 - x8/5 - x9/10
 x17 = x30 + x40 - x49/2 - x5/2 + x50/2 - x7 + x9/2
 x16 = -x30 - x40 + (9 x49)/10 + (9 x5)/10 - x50/10 - x6/5 + (4 x7)/5 + (4 x8)/5 - x9/10
 x15 = x30 + x40 - x49/2 - (3 x5)/2 + x50/2 + x9/2
 x14 = -x30 - x40 - x49/10 + (19 x5)/10 - (11 x50)/10 + (4 x6)/5 + (4 x7)/5 + (4 x8)/5 - x9/10
 x13 = x30 + x40 + x49/2 - (3 x5)/2 + (3 x50)/2 - x8 - x9/2
 x12 = -x30 - x40 - x49/10 + (19 x5)/10 - (11 x50)/10 + (4 x6)/5 - x7/5 + (4 x8)/5 + (9 x9)/10
 x11 = x30 + x40 + x49/2 - (3 x5)/2 + (3 x50)/2 - x6 - x9/2
 x10 = x49 + x50 - x9
 x1 = -x49 + x5 - x50 + x6 + x9
 k = x49/5 + x5/5 + x50/5 + (2 x6)/5 + (2 x7)/5 + (2 x8)/5 + x9/5

-- Сб июл 27, 2013 09:24:16 --

А не могли бы Вы сделать описание псевдокомплиментарного квадрата 8х8?

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

dmd
огромное спасибо за решение систем. Что бы я без вас делала

dmd в сообщении #749528 писал(а):

А не могли бы Вы сделать описание псевдокомплиментарного квадрата 8х8?

А в статье (ссылку я давала выше) что-то непонятно написано?
Конкретные непонятки можете сказать?
Там есть схема квадрата.
Псевдокомплементарные пары - это такие пары, сумма чисел в которых отличается от константы комплементарности $k$ на некоторую величину $p$ , называемую отклонением от комплементарности. Это понятие ввёл svb при разработке алгоритма построения пандиагональных квадратов 6-го порядка.

-- Сб июл 27, 2013 08:49:39 --

Повторяю ссылку на статью:
http://www.natalimak1.narod.ru/pannetr2.htm
В статье на рис. 27 изображена схема пандиагонального квадрата 8-го порядка, составленного из псевдокомплементарных пар чисел.

dmd · 16/08/05 1153

У меня не получилось восстановить алгебраическое описание по статье.

Еще такой вопрос. Любой пандиагональный нерегулярный квадрат можно считать псевдокомплиментарным, или нет?

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

dmd в сообщении #749534 писал(а):

У меня не получилось восстановить алгебраическое описание по статье.

Ну, с отклонениями от комплементарности сделать такое описание, как я здесь делала для других квадратов, сложно.
Надо взять 4 группы чисел с разными отклонениями от комплементарности (p1 и -p1, p3 и
-p3), в каждой группе должно быть не менее 8 пар. И далее стройте квадрат по схеме с рис. 27. Схема-то понятна?

А вот отклонения я выбирала произвольно, методом тыка, и, конечно, выжала далеко не все возможности этого алгоритма.

Цитата:

Еще такой вопрос. Любой пандиагональный нерегулярный квадрат можно считать псевдокомплиментарным, или нет?

Нет, конечно.

P.S. Хотя можно поптаться получить алгебраическую формулу. Ваш матпакет умеет решать уравнения с параметрами?
Здесь отклонения от комплементарности $p_i$ , наверное, надо считать параметрами. Или их тоже считать неизвестными?
В принципе, можно попробовать написать описание квадрата по схеме с рис. 27. Там все элементы обозначены и все формулы зависимости от $k$ и $p_i$ приведены.

-- Сб июл 27, 2013 09:22:22 --

Вот схема квадрата (рис. 27):

Код:

a1 b1 c1 d1 a5 b5 c5 d5
b2 a2 d2 c2 b6 a6 d6 c6
d3 c3 b3 a3 d7 c7 b7 a7
c4 d4 a4 b4 c8 d8 a8 b8
a5’ b5’ c5’ d5’ a1’ b1’ c1’ d1’
b6’ a6’ d6’ c6’ b2’ a2’ d2’ c2’
d7’ c7’ b7’ a7’ d3’ c3’ b3’ a3’
c8’ d8’ a8’ b8’ c4’ d4’ a4’ b4’

и формулы:

$a_i + a_i’ - K = p_1$
$b_i + b_i’ - K = -p_1$
$c_i + c_i’ - K = p_3$
$d_i + d_i’ - K = -p_3$ , i = 1, 2, …, 8.

Всё вроде понятно.
Ваши вопросы...

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Уф! Вот ошибка моя заставила меня ещё потрудиться над совершенным квадратом 10-го порядка. Формула сильно изменилась, хотя некоторые переменные так же вычисляются, как и в старой формуле. Но зато стало на одну независимую переменную меньше. Это уже большой плюс.
Ну, пришлось корректировать программу, формулы длинные, баги пришлось вылавливать.
Наконец-то довела программу до ума, работает быстрее немного, чем прежняя версия.
Вот совершенный квадрат из произвольных натуральных чисел:

Код:

 1  160  18  157  15  149  12  166  9  163 
 125  54  108  57  111  65  114  48  117  51 
 90  71  107  68  104  60  101  77  98  74 
 132  47  115  50  118  58  121  41  124  44 
 67  94  84  91  81  83  78  100  75  97 
 21  158  4  161  7  169  10  152  13  155 
 105  56  122  53  119  45  116  62  113  59 
 110  69  93  72  96  80  99  63  102  66 
 112  49  129  46  126  38  123  55  120  52 
 87  92  70  95  73  103  76  86  79  89 
S= 850 

Взяла $k=170$ , чтобы протестировать программу по известному квадрату, однако квадрат построился другой (что вообще-то и хорошо).
Теперь вроде всё в полном порядке. Надо же! Не описала раньше столбцы и они не получились. А теперь всё на месте.
Ну, квадрат из простых чисел придётся, наверное, долго искать. Надо проверить очень много потенциальных констант комплементарности. Здесь годятся любые константы комплементарности, которые дают не менее 50 пар чисел.

Надо разбираться с формулой пандиагонального квадрата 9-го порядка. Тоже весьма интересно, что мы тут имеем. Годится ли эта формула для построения квадратов из простых чисел?

Научный форум dxdy

Дьявольские магические квадраты из простых чисел

Кто сейчас на конференции