Mn(R) - кольцо главных идеалов?

[spyphy]

Является ли $M_n(R)$ кольцом главных идеалов? (здесь $R$ - ассоциативное кольцо с единицей).

[lena7]

Оно даже не коммутативно. Лучше так. Дайте определение кольца главных идеалов. Полное.

При $n=1$ мы получаем само кольцо. Поэтому ассоциативность и наличие единицы -- слишком слабые условия; не интересно.

[spyphy]

lena7 в сообщении #748908 писал(а):

Оно даже не коммутативно.

а что среди некоммутативных колец не бывает колец главных идеалов?

lena7 в сообщении #748908 писал(а):

Лучше так. Дайте определение кольца главных идеалов. Полное.

естественно, требуется, чтобы каждый идеал был двусторонним главным идеалом, то есть имел вид
$RaR = \{ r_1 a r'_1 + ... + r_n a r'_n ~|~ r_i,r'_i \in R \}$
(ссылаясь вот на это определение http://ru.wikipedia.org/wiki/Главный_идеал )

-- Ср июл 24, 2013 19:13:49 --

lena7 в сообщении #748908 писал(а):

При $n=1$ мы получаем само кольцо. Поэтому ассоциативность и наличие единицы -- слишком слабые условия; не интересно

Это точно. Тут я ошибся немного в формулировке. Интересует, является ли кольцо $M_n(F)$ кольцом главных идеалов, если $F -$ поле.

-- Ср июл 24, 2013 19:24:28 --

Не, меня интересует именно кольцо главных идеалов. Точнее, мне надо было доказать, что $R=M_n(F)$ - простое, если $F$ - поле. Один вариант доказательства (возможно ошибочный) заключается, в том чтобы рассмотреть все идеалы вида $RrR$ ($0 \neq r \in R$) и показать что они равны $R$. Правильно ли так делать?

[patzer2097]

spyphy в сообщении #748911 писал(а):

Точнее, мне надо было доказать, что $R=M_n(F)$ - простое, если $F$ - поле.

Так мы же это три дня назад с Вами тут обсудили
http://dxdy.ru/topic74597.html

[spyphy]

patzer2097 в сообщении #748923 писал(а):

Так мы же это три дня назад с Вами тут обсудили
topic74597.html

да, в общем всё вокруг этого вращается. Но вы ж сказали есть другое доказательство. Вот мне надо убедиться в его достоверности (оно не моё).

[spyphy]

кажется всё правильно, если забыть про главные идеалы. Вот доказательство получается:
Пусть $F$ --- поле и $I \neq 0$ --- идеал (двусторонний) в $R = M_n(F)$. Тогда $\exists A \in R, ~ A \neq 0$, и пусть $A=\sum\limits_{i,j}^n a_{ij} e_{ij}$ ($e_{ij}$ --- матричные единицы), где хотя бы какой-то $a_{kl} \neq 0$.
Тогда $e_{1k} A e_{l1} = a_{kl} e_{kl} \in I$. Так как $a_{kl} \in F$ ($F$ --- поле), то $\exists a_{kl}^{-1} \in F$ и $a_{kl}^{-1} e_{kl} \cdot a_{kl} e_{kl} = e_{kl} \in I$. Тогда $e_{ik} e_{kl} e_{li} = e_{ii} \in I ~ \forall i=1,...n$ и $1 = \sum\limits_{i=1}^n e_{ii} \in I$, то есть $I=R$ и $R$ --- простое.

[patzer2097]

spyphy в сообщении #748964 писал(а):

кажется всё правильно, если забыть про главные идеалы. Вот доказательство получается:
Пусть $F$ --- поле и $I \neq 0$ --- идеал (двусторонний) в $R = M_n(F)$. Тогда $\exists A \in R, ~ A \neq 0$, и пусть $A=\sum\limits_{i,j}^n a_{ij} e_{ij}$ ($e_{ij}$ --- матричные единицы), где хотя бы какой-то $a_{kl} \neq 0$.
Тогда $e_{1k} A e_{l1} = a_{kl} e_{kl} \in I$. Так как $a_{kl} \in F$ ($F$ --- поле), то $\exists a_{kl}^{-1} \in F$ и $a_{kl}^{-1} e_{kl} \cdot a_{kl} e_{kl} = e_{kl} \in I$. Тогда $e_{ik} e_{kl} e_{li} = e_{ii} \in I ~ \forall i=1,...n$ и $1 = \sum\limits_{i=1}^n e_{ii} \in I$, то есть $I=R$ и $R$ --- простое.

ну да, у Вас всё правильно (правда, по модулю запредельного количества опечаток)
в частности, $e_{1k} A e_{l1}$ у Вас должно быть равно $ a_{kl} e_{11}$ а не тому, что у Вас написано. Ну и последующая часть текста тоже требует правки, чтобы стать правильным доказательством

spyphy в сообщении #748945 писал(а):

Но вы ж сказали есть другое доказательство.

а я и имел в виду доказательство, которое Вы привели выше