2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Какая получится функция распределения?
Сообщение24.07.2013, 10:47 
Аватара пользователя
Пусть имеем непрерывную случайную величину, распределённую по закону $P(X)$. Пусть далее мы имеем в наличии три выборочных значения этой с.в. записанных в порядке возрастания $X_1; X_2; X_3$. Как найти закон распределения с.в., полученной через разность двух исходных величин $Y=X_3-X_1$ ?

 
 
 
 Re: Какая получится функция распределения?
Сообщение24.07.2013, 12:56 
Аватара пользователя
Что интересует-то? Распределение разности первой и третьей порядковой статистики?

 
 
 
 Re: Какая получится функция распределения?
Сообщение24.07.2013, 13:09 
Аватара пользователя
Да. Разности последней и первой.

 
 
 
 Re: Какая получится функция распределения?
Сообщение24.07.2013, 14:10 
Аватара пользователя
Поскольку их у Вас всего три, так что первая и третья это минимум и максимум, Вам нужна функция распределения размаха.
$F(w)=n\int\limits_{-\infty}^{+\infty}p(x)(P(x+w)-P(x))^{n-1}dx$
$p(x)$ и $P(x)$ - плотность и функция распределения исходной величины.
Дэйвид Г. Порядковые статистики. М., Наука, 1979.
(стр. 20)

 
 
 
 Re: Какая получится функция распределения?
Сообщение24.07.2013, 14:42 
Аватара пользователя
Спасибо. Для показательного распределения:
$F(w)=3\int\limits_{0}^{+\infty}\exp(-\lambda x)(\exp(-\lambda x)-\exp(-\lambda (x+w)))^2dx$
Попробую взять этот интеграл.

 
 
 
 Re: Какая получится функция распределения?
Сообщение24.07.2013, 16:21 
Аватара пользователя
$\frac{e^{-2 \lambda  w} \left(e^{\lambda  w}-1\right)^2}{\lambda }$ (при $\operatorname{Re}\lambda>0$).

 
 
 
 Re: Какая получится функция распределения?
Сообщение24.07.2013, 16:39 
Аватара пользователя
Aritaborian в сообщении #748890 писал(а):
$\frac{e^{-2 \lambda  w} \left(e^{\lambda  w}-1\right)^2}{\lambda }$ (при $\operatorname{Re}\lambda>0$).

Это такая получилась плотность распределения размаха?

 
 
 
 Re: Какая получится функция распределения?
Сообщение24.07.2013, 16:55 
Аватара пользователя
Это ваш интеграл $F(w)$.

 
 
 
 Re: Какая получится функция распределения?
Сообщение24.07.2013, 17:03 
Александрович в сообщении #748862 писал(а):
Спасибо. Для показательного распределения:
$F(w)=3\int\limits_{0}^{+\infty}\exp(-\lambda x)(\exp(-\lambda x)-\exp(-\lambda (x+w)))^2dx$

При $w\ge 0$. При отрицательных надо поделикатней.

 
 
 
 Re: Какая получится функция распределения?
Сообщение24.07.2013, 17:10 
Аватара пользователя
Otta в сообщении #748902 писал(а):
При $w\ge 0$. При отрицательных надо поделикатней.

Размах как разность между максимальным и минимальном значением выборки всегда положителен.

-- Ср июл 24, 2013 21:12:47 --

Aritaborian в сообщении #748900 писал(а):
Это ваш интеграл $F(w)$.

А там не "-" перед показателем второй экспоненты?

 
 
 
 Re: Какая получится функция распределения?
Сообщение24.07.2013, 17:16 
Александрович в сообщении #748904 писал(а):
Размах как разность между максимальным и минимальном значением выборки всегда положителен.

Это да, это верно. Но тогда что-то не так: если считать честно, то последнее слагаемое не всегда равно $\exp({-\lambda(x+w)})$.

-- 24.07.2013, 19:36 --

Александрович в сообщении #748904 писал(а):
А там не "-" перед показателем второй экспоненты?

Нет, там не минус. Да и какая разница, предел на плюс бесконечности при любом раскладе не единица.

-- 24.07.2013, 19:51 --

Александрович
Я поняла. Вы забыли правильно записать плотность под интегралом.

Свой вопрос я выяснила, ответ, как я и предполагала, естественный: ф.р. размаха определяется таким образом при неотрицательных значениях аргумента.

 
 
 
 Re: Какая получится функция распределения?
Сообщение24.07.2013, 21:51 
Аватара пользователя
1. Это не для плотности выражение, а для функции распределения.
2. По-моему, у Вас лямбда убежала.

 
 
 
 Re: Какая получится функция распределения?
Сообщение25.07.2013, 01:16 
Аватара пользователя
Да, спасибо.

 
 
 
 Re: Какая получится функция распределения?
Сообщение29.07.2013, 08:56 
Аватара пользователя
Aritaborian в сообщении #748890 писал(а):
$\frac{e^{-2 \lambda  w} \left(e^{\lambda  w}-1\right)^2}{\lambda }$ (при $\operatorname{Re}\lambda>0$).

Всё верно, только $\lambda$ в знаменателе не должно быть. А иначе функция распределения получается размерной.

 
 
 
 Re: Какая получится функция распределения?
Сообщение29.07.2013, 09:20 
Аватара пользователя
Ну, я бы ещё более упростил.
$F(w)=(1-e^{-\lambda w})^2$

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group