Какая получится функция распределения?

[Александрович]

Пусть имеем непрерывную случайную величину, распределённую по закону $P(X)$. Пусть далее мы имеем в наличии три выборочных значения этой с.в. записанных в порядке возрастания $X_1; X_2; X_3$. Как найти закон распределения с.в., полученной через разность двух исходных величин $Y=X_3-X_1$ ?

[Евгений Машеров]

Что интересует-то? Распределение разности первой и третьей порядковой статистики?

[Александрович]

Да. Разности последней и первой.

[Евгений Машеров]

Поскольку их у Вас всего три, так что первая и третья это минимум и максимум, Вам нужна функция распределения размаха.
$F(w)=n\int\limits_{-\infty}^{+\infty}p(x)(P(x+w)-P(x))^{n-1}dx$
$p(x)$ и $P(x)$ - плотность и функция распределения исходной величины.
Дэйвид Г. Порядковые статистики. М., Наука, 1979.
(стр. 20)

[Александрович]

Спасибо. Для показательного распределения:
$F(w)=3\int\limits_{0}^{+\infty}\exp(-\lambda x)(\exp(-\lambda x)-\exp(-\lambda (x+w)))^2dx$
Попробую взять этот интеграл.

[Aritaborian]

$\frac{e^{-2 \lambda w} \left(e^{\lambda w}-1\right)^2}{\lambda }$ (при $\operatorname{Re}\lambda>0$).

[Александрович]

Aritaborian в сообщении #748890 писал(а):

$\frac{e^{-2 \lambda w} \left(e^{\lambda w}-1\right)^2}{\lambda }$ (при $\operatorname{Re}\lambda>0$).

Это такая получилась плотность распределения размаха?

[Aritaborian]

Это ваш интеграл $F(w)$.

[Otta]

Александрович в сообщении #748862 писал(а):

Спасибо. Для показательного распределения:
$F(w)=3\int\limits_{0}^{+\infty}\exp(-\lambda x)(\exp(-\lambda x)-\exp(-\lambda (x+w)))^2dx$

При $w\ge 0$. При отрицательных надо поделикатней.

[Александрович]

Otta в сообщении #748902 писал(а):

При $w\ge 0$. При отрицательных надо поделикатней.

Размах как разность между максимальным и минимальном значением выборки всегда положителен.

-- Ср июл 24, 2013 21:12:47 --

Aritaborian в сообщении #748900 писал(а):

Это ваш интеграл $F(w)$.

А там не "-" перед показателем второй экспоненты?

[Otta]

Александрович в сообщении #748904 писал(а):

Размах как разность между максимальным и минимальном значением выборки всегда положителен.

Это да, это верно. Но тогда что-то не так: если считать честно, то последнее слагаемое не всегда равно $\exp({-\lambda(x+w)})$.

-- 24.07.2013, 19:36 --

Александрович в сообщении #748904 писал(а):

А там не "-" перед показателем второй экспоненты?

Нет, там не минус. Да и какая разница, предел на плюс бесконечности при любом раскладе не единица.

-- 24.07.2013, 19:51 --

Александрович
Я поняла. Вы забыли правильно записать плотность под интегралом.

Свой вопрос я выяснила, ответ, как я и предполагала, естественный: ф.р. размаха определяется таким образом при неотрицательных значениях аргумента.

[Евгений Машеров]

1. Это не для плотности выражение, а для функции распределения.
2. По-моему, у Вас лямбда убежала.

[Александрович]

Да, спасибо.

[Александрович]

Aritaborian в сообщении #748890 писал(а):

$\frac{e^{-2 \lambda w} \left(e^{\lambda w}-1\right)^2}{\lambda }$ (при $\operatorname{Re}\lambda>0$).

Всё верно, только $\lambda$ в знаменателе не должно быть. А иначе функция распределения получается размерной.

[Евгений Машеров]

Ну, я бы ещё более упростил.
$F(w)=(1-e^{-\lambda w})^2$