Сходится ли ряд?

[Ktina]

Пусть $D_n$ есть количество цифр в десятичной записи числа

$$n^n$$

Сходится ли следующий ряд?

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{D_n}$$

[sergei1961]

Логарифм попробуйте оценить стандартными неравенствами. А десятичный логарифм связан с числом цифр в числе...

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

Юзайте интегральный признак сходимости.

[Ktina]

sergei1961 в сообщении #748542 писал(а):

Логарифм попробуйте оценить стандартными неравенствами. А десятичный логарифм связан с числом цифр в числе...

Вроде, как-то так:

$$D_n=\lfloor \dfrac{n\cdot \log(n)}{\log(10)}\rfloor + 1$$

[sergei1961]

Ну да, поэтому

$$ \sum \frac{1}{D_n}>c\sum \frac{1}{n\ln n} $$

ну и юзайте как Вам посоветовали этот самый признак...

[timots]

Не решал. Но на первый взгляд здесь ряд не зависит от того что $ D_n$ означает. Поэтому и предел будет стандартны,- или равный $ e. $ (Возможно, я и ошибаюсь).

[cool.phenon]

timots
Да, так и есть, Вы ошибаетесь

$$\int\limits_{2}^{+\infty}{\frac{1}{x\ln x}dx}=\int\limits_{\ln 2}^{+\infty}{\frac{1}{t}dt} $$

[patzer2097]

cool.phenon в сообщении #748559 писал(а):

timots
Да, так и есть, Вы ошибаетесь

$$\int\limits_{2}^{+\infty}{\frac{1}{x\ln x}dx}=\int\limits_{\ln 2}^{+\infty}{\frac{1}{t}dt} $$

или проще, $\int{\frac{1}{x\ln x}dx}=\ln\ln x+c$