Последовательность

[Keter]

Последовательность $\{a_j\}^{\infty}_{j=0}$ задана рекурентно: $a_0=1, \quad a_{j+1}=a_j-\dfrac{a^2_j}{2002}.$ Доказать, что $a_{2002}<\dfrac{1}{2}.$
Из сборника олимпиад Курченко. Не могу понять как доказывать...
Пришел к такому: $x_2<2x_1, x_3<2x_1+x^2_1<3x_1, ..., x_{2002}<2002 x_1$
Но это бред

[Keter]

Понятно, что $\{a_j\}$ строго монотонно убывающая и ограниченная снизу нулем (для интереса, как это строго доказать?)

Установил, что

$$\dfrac{a_{j+1}}{a_j}=1-\dfrac{1}{2002}-\dfrac{1}{2002^2}-...-\dfrac{a_1}{2002^j}$$

[Keter]

А не... ошибся. Правильно вот так:

$$j=2i-1, \quad \dfrac{a_{2i}}{a_{2i-1}}=1-\dfrac{1}{2002}+\dfrac{1}{2002^2}-...+\dfrac{1}{2002^{2i}}$$

[Dave]

Рекомендую лучше доказать, что $a_n<\frac {2002} {2002+n}$ при $n>0$.

[Keter]

Еще получилось такое:

$$\dfrac{a_{2i+1}}{a_{2i}}=\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty} \dfrac{1}{2002^{2i}} - \displaystyle \sum_{i=0}^{\infty} \dfrac{1}{2002^{2i+1}}$$

$$a_{2i}=2002 \bigg( \displaystyle \sum_{i=0}^{\infty} \dfrac{1}{2002^{2i+1}}-\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty} \dfrac{1}{2002^{2i}}+1 \bigg)$$

-- 22.07.2013, 03:53 --

Dave в сообщении #748174 писал(а):

Рекомендую лучше доказать, что $a_n<\frac {2002} {2002+n}$ при $n>0$.

А как это можно доказать?

[Dave]

Keter в сообщении #748176 писал(а):

Dave в сообщении #748174 писал(а):

Рекомендую лучше доказать, что $a_n<\frac {2002} {2002+n}$ при $n>0$.

А как это можно доказать?

По индукции, как же ещё.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Keter в сообщении #748160 писал(а):

рекурентно

Запомните: рекуррентно.

[kw_artem]

Keter в сообщении #748170 писал(а):

ограниченная снизу нулем (для интереса, как это строго доказать?)

предельным переходом можно

[denisart]

(Оффтоп)

Эта задача есть в сборнике олимпиад МФТИ под номером 2002.3

[Keter]

denisart, если не затруднит, в каком именно сборнике?

[denisart]

(Оффтоп)

Напишите мне свою почту, я Вам скину.