Вероятностные предпосылки гипотез о простых числах

[vicvolf]

Во многих гипотезах о простых числах делается предпосылка, что вероятность большого натурального числа х быть простым равна $1/\ln(x)$.
Указанная предпосылка основана на асимптотическом законе простых чисел:
$\pi(x) \sim \int_{2}^{x}{\frac {dt} {\ln(t)}dt}=li(x).$ (1)
Реальное значение $\pi(x)$ имеет отклонение от $li(x)$. Различные оценки этого отклонения приведены в работе:
http://www.encyclopediaofmath.org/index ... References

При предположении выполнения гипотезы Римана справедлива наиболее точная оценка, приведенная в указанной работе:
$\pi(x)=li(x)+O(x^{0,5}\ln(x)).$ (2)
Поэтому на основании (2) отклонение реальной плотности простых чисел на интервале [2,x) от $1/\ln(x)$:
$R_1(x)=|\pi(x)/x-1/\ln(x)|< C\ln(x)/x^{0,5}.$ (3)
В работе Дона Цагира "Первые 50 миллионов простых чисел" (рис. 6) показано, что отклонение $|\pi(x)-li(x)|$ при $x=10^6$ примерно равно 100, а при $x=10^7$ - 300.
Таким образом, $R_1(10^6)=100/10^6=10^{-4}, R_1(10^7)=300/10^7=3 \cdot 10^{-5}.$ (4)
Следовательно, при $x=10^{6}$ и $x=10^{7}$ при определении $\pi(x)/x$ справедливы только первые 4 знака значения $1/\ln(x)$.

В теме "Асимптотическая плотность и гипотезы о простых числах" было показано, что плотность строго возрастающей последовательности f(n) на ограниченном интервале [A,B): $P(f,A,B)=\pi(f,A,B)/(B-A),$ (5)
где $\pi(f,A,B)$ - количество членов последовательности f(n) на интервале [A,B), является значением конечной вероятностной меры $P(A,B)$.
Поэтому плотность последовательности простых чисел $f(n)$ на интервале [2,x) - $P(f,2,x)$, где х - фиксированное натуральное число, является значением вероятностной меры $P(2,x)$ или просто вероятностью, что х является простым числом.
В случае, если х большое натуральное число, то точность формулы (5):
$R_2(x)=1/x.$ (6)

Таким образом, для рассмотренных выше случаев - $R_2(10^6)=10^{-6}, R_2(10^7)=10^{-7}$, т.е точность равна соответственно 6 или 7 знаков после запятой.
Поэтому, вероятность числа $10^6+1$ быть простым на основании асимптотического закона простых чисел равна $1/\ln(10^6+1)=0,0724$ (с точностью 4 знака после запятой), что с запасом укладывается в вероятностную меру $P(2,10^6)$ с точностью 6 знаков после запятой. Вероятность числа $10^7+1$ быть простым на основании асимптотического закона простых чисел равна $1/\ln(10^7+1)=0,0620$ (с точностью 4 знака после запятой), что с запасом укладывается в вероятностную меру $P(2,10^7)$ с точностью 7 знаков после запятой.

В общем случае, из формул (3), (6) для большого натурального х следует:
$C\ln(x)/x^{0,5}>R_2(x)=1/x.$ (7)

[Deggial]

vicvolf в сообщении #747597 писал(а):

Во многих гипотезах о простых числах делается предпосылка, что вероятность большого натурального числа х быть простым равна $1/\ln(x)$.

Это бессмысленное высказывание. Можно лишь утверждать, что если мы рассматриваем конечное множество $\{1,...,n\}$ и считаем выбор его элементов равновероятным, то вероятность $p_n$ того, что выбранное число будет простым, равна $\frac{\pi(n)}{n}$, при этом $p_n\neq \frac{1}{\ln n}$, хотя $p_n\sim \frac{1}{\ln n}$.

vicvolf в сообщении #747597 писал(а):

Поэтому, вероятность числа $10^6+1$ быть простым на основании асимптотического закона простых чисел равна $1/\ln(10^6+1)=0,0724$

Это бессмысленное высказывание, вероятность того, что $10^6+1$ простое, равна нулю, поскольку оно составное.

Тема закрыта и переносится в Пургаторий как продолжение предыдущей темы.
vicvolf, предупреждение за дублирование темы, перенесённой в Пургаторий, и за бессмысленные высказывания.