Найти минимум функции.

[b322730]

Помогите, пожалуйста, найти минимум функции

$$f\left(x\right)=a_0\cdot x^2+a_1\cdot x+\frac{a_2}{x}+\frac{a_3}{x^2}$$

аналитически.
Если найти производную и приравнять нулю, получается уравнение

$$2\cdot a_0\cdot x-\frac{a_2}{x^2}-\frac{2\cdot a_3}{x^3}+a_1=0$$

, которое, на мой взгляд, затруднительно решить аналитически.
Вернее, я его решил в wxMaxima, но результат решения, вследствие его объема, меня не устроил.
Объясните, пожалуйста, в чем я ошибся.

[Алексей К.]

Может, в том, что залезли в четырёхмерное пространство параметров, не попытавшись его урезонить хотя бы до трёхмерного.
А может в том, что взялись за такую задачу в такой постановке.
А может в том, что позвали какую-то wxMaxima (не знаю, кто такая). Никого вообще не надо было звать, чтобы сразу понять громоздкость задачи, хотя бы по перебору соотношений параметров, дающих те или иные комбинации/варианты действительных решений.
И почему, собственно, Вы ошиблись? Не устраивает -- и ладно.

Скорее всего, Вы ни в чём не ошиблись. Ваше скупое описание выглядит очень правдоподобно.

-- 18 июл 2013, 21:36:07 --

Исключив икс из системы $\{f(x)=M,\;f'(x)=0\}$, Вы получите уравнение какой-то (седьмой?) степени относительно $M$, дающее всевозможные значения экстремумов (не только минимумов). Процедура исключения в известных мне заменителях математики называется словом типа "resultant". Я, пардон, забыл, как этот определитель называется собственно в математике.

[b322730]

Спасибо. Подскажите, пожалуйста, численный метод, который при решении данной задачи даст хорошую сходимость.

[_hum_]

b322730 в сообщении #747231 писал(а):

Если найти производную и приравнять нулю, получается уравнение

$$2\cdot a_0\cdot x-\frac{a_2}{x^2}-\frac{2\cdot a_3}{x^3}+a_1=0$$

, которое, на мой взгляд, затруднительно решить аналитически.

$$2\cdot a_0\cdot x-\frac{a_2}{x^2}-\frac{2\cdot a_3}{x^3}+a_1=0 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot a_0\cdot x^4 -a_2 x - 2\cdot a_3+a_1 x^3 = 0$$

А алгебраические уравнения 4-ой степени решаются аналитически (в радикалах). Wiki:Уравнение четвертой степени

[Алексей К.]

b322730 в сообщении #747267 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, численный метод, который при решении данной задачи даст хорошую сходимость.

Я в формальностях (именах и проч.) численных методов не силён. Посему, при большой нужде, каждый раз изобретаю свой метод к очередной конкретной задачке, Может, спецы чего правильно подскажут.

Но у Вас полиномиальные (по сути) уравнения, а для них вроде всё просто. Ели уж я себе легко сгондобил рекурсивный надёжный скрипт с понижением порядка, то эти интерпретаторы математики и подавно должны справиться. Мне вот после этого вполне понятно, почему в Maple опция "отыщи-ка мне все решения" применима только к полиномам.

При численном решении (не "аналитическом") проблем вроде не видится. Почитайте подробнее свою Максиму, всё там должно быть. В Maple это fsolve(eq, maxsols=degree(eq)).

[_hum_]

Алексей К., а можно объяснить, в чем тут подвох? Зачем городить огород с параметрами, чис. методами, если можно напрямую взять четыре корня соответствующего алгебраического уравнения, и, подставив в исходную функцию, выбрать минимальное значение?

[Алексей К.]

b322730 в сообщении #747231 писал(а):

Помогите, пожалуйста, найти минимум функции ... аналитически.

_hum_,

изначальное желание автора найти "аналитически" и описание того, как он это делал, я воспринял как желание выписать формулки типа $M=F(a_0,a_1,a_2,a_3)$, куда останется подставить конкретные значения параметров и получить эти минимумы. Ну как здесь обойтись без огорода (жуткого, как мне кажется) типа "при таких соотношениях между коэффициентами имеем столько-то действительных корней и используем такую-то формулу, а при таких --- ..."?

А при "численном" решении (не "аналитическом") с конкретными значениями коэффициентов $a_i$ ни подвохов, ни огородов не вижу.

(Оффтоп)

А просто вчера я тут, после трудного дня (в течение которого пришлось как раз про fsolve смотреть подробности), глупостей понаписал, в смысле --- излишеств; скрипт свой стародавний зачем-то вспомнил. И, видимо, захотелось ещё, чтобы человек, возящийся с полиномами, результант открыл для себя, как я когда-то открыл...