Произведение хорд = n (красивая теорема)

[longstreet]

Дано. На окружности единичного радиуса выбираются $n$ равноотстоящих друг от друга точек. Из любой из выбранных точек до всех остальных точек проводятся хорды.
Доказать. Произведение длин получившихся хорд всегда равно $n$.

-- 18.07.2013, 04:05 --

По-видимому, нужно рассмотреть ситуацию как комплексную плоскость. Но конкретных идей у меня нет.

[g______d]

Мне кажется, что я решал эту задачу на 1 курсе в формулировке $\prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{\pi k}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}$. Решил каким-то техническим способом. Решение сейчас гуглится по ключевым словам "произведение диагоналей многоугольника", но читать не хочу :)

[nnosipov]

g______d в сообщении #747024 писал(а):

я решал эту задачу на 1 курсе в формулировке $\prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{\pi k}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}$. Решил каким-то техническим способом.

Интересно, каким? Обычно это произведение синусов находят, сводя к значению производной многочлена.

[g______d]

Да, можно в одну строчку сделать, рассмотрев функцию $\frac{z^{n}-1}{2^{n-1}(z-1)}$. Может быть я с какой-то другой задачей путаю, попробую вспомнить.

[longstreet]

g______d в сообщении #747024 писал(а):

Решение сейчас гуглится по ключевым словам "произведение диагоналей многоугольника"

Действительно, спасибо.