Процесс рождения-гибели

[Slumber]

Извините, не могли бы вы, пожалуйста, объяснить мне один момент, связанный с общей теорией?

Значит, история примерно такая:

Книжка стр 132 (148 в PDF) [url]d.cc.ua/misc/A First Course in Stochastic Processes.pdf[/url]

Процесс рождения-гибели задается следующим образом

$P_{i,i+1}(h) = \lambda_ih + o(h)$
$P_{i,i-1}(h) = \mu_ih + o(h)$
$P_{i,i}(h) = 1 - (\lambda_ih + \mu_ih) + o(h)$

$h \rightarrow 0$

Матрица интенсивностей у нас будет такая

$\left\| \begin{matrix} -\lambda_0 & \lambda_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \mu_1 & -(\lambda_1+\mu_1) & \lambda_1 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \mu_2 & -(\lambda_2+\mu_2) & \lambda_2 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \mu_3 & -(\lambda_3+\mu_3) & \lambda_3 & 0 & \cdots \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \ddots \end{matrix} \right\|$

А вот дальше становится интересно. Почему-то говорится, что процесс переходит из $i$-го состояния в $(i+1)$-е с вероятностью $\displaystyle\frac{\lambda_i}{\lambda_i+\mu_i}$, соответственно в $(i-1)$-е с вероятностью $\displaystyle\frac{\mu_i}{\lambda_i+\mu_i}$.

Объяснение этому какое-то очень сложное на всю страницу 134(150).
Там идет ссылка на второй том
[url]d.cc.ua/misc/220-A-Second-Course-in-Stochastic-Processes-Karlin,Taylor.pdf[/url]
Но там что-то совсем другое.

Дальше, вывод очень нужных мне оценок (стр. 149(165) )идет в первой книге, начиная со страницы 146(162), и там как раз берутся эти "другие" вероятности.

Я понимаю, что это звучит сложно - разбирать для меня эту книжку, но может кто-то и так знает, в чем дело - я часто встречаю эти формулы. У меня вообще дискретный процесс с вероятностями перехода

$P_{i,i+1}= \lambda_i $
$P_{i,i-1}= \mu_i$
$P_{i,i} = 1 - (\lambda_i + \mu_i)$

И мне очень существенна ненулевая вероятность "залипания" на месте.

Могу ли я просто тупо их ставить в эти формулы, или надо пересчитывать в $\displaystyle\frac{\lambda_i}{\lambda_i+\mu_i}$ и $\displaystyle\frac{\mu_i}{\lambda_i+\mu_i}$. ? Более того, мне еще кажется, что вероятность "залипания" при введении вот этих вторых формул пропадает.

[Otta]

Slumber в сообщении #747060 писал(а):

Могу ли я просто тупо их ставить в эти формулы, или надо пересчитывать в $\displaystyle\frac{\lambda_i}{\lambda_i+\mu_i}$ и $\displaystyle\frac{\mu_i}{\lambda_i+\mu_i}$. ?

Не вникая особенно, и безотносительно к книжке.
Ясно, что это условные вероятности: перехода из $i$-го состояния в $i+1$-е и из $i$-го состояния в $i-1$-е, если известно, что точка не осталась на месте. А вероятность залипания в каждый момент времени (в каждом состоянии), она ведь Вам дана. Что Вы еще от нее хотите?

[Slumber]

Цитата:

Ясно, что это условные вероятности

Ага, что-то начинаю понимать.

Сумма этих двух дробей единица. Вероятность сдинуться равна как раз $\lambda_i+ \mu_i$. Получается, они им нужны были просто для расчета.

Спасибо тогда вам большое.

[Otta]

Да не за что.