Какая цифра останется?

[Ktina]

Числа $1, 2, \dots 2013$ выписаны друг за другом без пробелов.
Отбросим все цифры, стоящие на чётных местах.
В получившейся строке отбросим все цифры, стоящие на нечётных местах.
Затем — снова на чётных, затем — снова на нечётных и т. д.

Какая цифра останется?

[TelmanStud]

Ответ $0$?

[Ktina]

TelmanStud в сообщении #746385 писал(а):

Ответ $0$?

У меня другой ответ получился.
А как Вы считали?

[TelmanStud]

давайте пересчитаю может ошибся

[Ktina]

TelmanStud в сообщении #746387 писал(а):

давайте пересчитаю может ошибся

даю

[TelmanStud]

У меня получается $2049$-я цифра

[TOTAL]

А вдруг никого не останется?

[Ktina]

TelmanStud в сообщении #746392 писал(а):

У меня получается $2049$-я цифра

А у меня $2731$-я.

-- 16.07.2013, 11:30 --

TOTAL в сообщении #746394 писал(а):

А вдруг никого не останется?

Скажем так, какая цифра умрёт последней?

[Руст]

TOTAL в сообщении #746394 писал(а):

А вдруг никого не останется?

Если после $k$ шагов осталось $N_k$ цифр, то после $k+1$ шага останется $[\frac{N_k+(1+(-1)^{k+1})/2}{2}]$ цифр. Поэтому всегда останется последняя цифра. Легче назвать его номер имеющий все цифры $3$ (кроме может быть первой) в 4-ичном исчислении.

[Ktina]

Руст в сообщении #746401 писал(а):

TOTAL в сообщении #746394 писал(а):

А вдруг никого не останется?

Если после $k$ шагов осталось $N_k$ цифр, то после $k+1$ шага останется $[\frac{N_k+(1+(-1)^{k+1})/2}{2}]$ цифр. Поэтому всегда останется последняя цифра.

В нашем случае всего выписано 6945 цифр. Но уже после второго шага останутся только цифры, номера мест которых дают остаток 3 при делении на 4. А это значит, что последняя цифра...

(troll)

отож!

[Руст]

Ktina в сообщении #746403 писал(а):

В нашем случае всего выписано 6945 цифр. Но уже после второго шага останутся только цифры, номера мест которых дают остаток 3 при делении на 4. А это значит, что последняя цифра...

(troll)

отож!

Это значит останется цифра с номером $3+3*4+3*4^2+3*4^3+3*4^4+3*4^5=(4^6-1)=4095.

[Ktina]

Руст в сообщении #746404 писал(а):

Ktina в сообщении #746403 писал(а):

В нашем случае всего выписано 6945 цифр. Но уже после второго шага останутся только цифры, номера мест которых дают остаток 3 при делении на 4. А это значит, что последняя цифра...

(troll)

отож!

Это значит останется цифра с номером $3+3*4+3*4^2+3*4^3+3*4^4+3*4^5=(4^6-1)=4095.

А у меня не так получилось.
После первого шага останется 1 по модулю 2.
После второго -- 3 по модулю 4.
После третьего -- 3 по модулю 8.
Далее -- 11 по модулю 16, 11 по модулю 32, 43 по модулю 64, 43 по модулю 128, 171 по модулю 256, 171 по модулю 512, 683 по модулю 1024, 683 по модулю 2048, 2731 по модулю 4096, 2731 по модулю 8192.

Что не так?

[Руст]

Я не учел, что считаем не с 0, а с 1. Т.е. в младшем разряде остается 3, а дальше 2 в 4-ичном исчислении.

[TelmanStud]

да $2731$-я цифра Вы правы. Я делал чуть по другому..

[Ktina]

TelmanStud в сообщении #746409 писал(а):

да $2731$-я цифра Вы правы. Я делал чуть по другому..

Это ещё не всё. Осталось ещё доказать, что она — девятка.
Первые 100 чисел это 189 цифр, откуда следует, что 2731-ая цифра будет первой цифрой 848-го трёхзначного числа, коим является число 947.

Так?