Предел одной последовательности

[svhr]

Рассмотрим последовательность $s_n = \int\limits_0^1 f(x) x^n dx$ , где $f$ непрерывная и строго положительная на $[0,1]$ функция.

Как доказать, что предел $s_n$ при $n \rightarrow \infty $ равен нулю?

Сложность в том, что $x^n$ при $n \rightarrow \infty$ сходится неравномерно на $x \in [0,1]$ к разрывной функции и занести знак предела под интеграл так просто не выйдет. Если разбить наш интервал на отрезки длинной, скажем, 1/m и расписать определение интеграла, то там возникает необходимость поменять местами два предела, а следовательно, потребуется равномерная сходимость сумм площадей прямоугольников разбиения, что доказать у меня пока не получается.

[iifat]

Должна ж быть какая-нибудь теорема об ограниченности непрерывной на замкнутом отрезке функции, нет? А если она ограничена, задача, по-моему, несколько упрощается.

[xmaister]

$M=\sup f,s_n\le M\int\limts_{1}^{0}x^ndx$

[ewert]

(Оффтоп)

xmaister в сообщении #746344 писал(а):

$s_n\le M\int\limts_{1}^{0}x^ndx$

, но только с точностью до знаков